$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Suites arithmétiques - Suites géométriques

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique s'il existe un nombre $r$ tel que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout entier naturel $n.$ On appelle alors $r$ la raison de la suite.

  • Expression du terme général : pour $n\geq 0,$ $$u_n=u_0+nr.$$
  • Expression de la somme des premiers termes : pour $n\in\mathbb N,$ on définit $S_n$ par $S_n=u_0+\cdots+u_n.$ Alors pour tout entier naturel $n$, $$S_n=\frac{(n+1)\times(u_0+u_n)}{2}.$$
  • Somme de termes consécutifs : Plus généralement, si on cherche à calculer $u_p+\cdots+u_q,$ avec $q\geq p\geq 0,$ alors $$u_p+\cdots+u_q=\frac{(q-p+1)\times(u_p+u_q)}{2}.$$ On retient souvent cette formule sous la forme : $$u_p+\cdots+u_q=\frac{(\textrm{nb de termes})\times(\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme})}2.$$

Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite géométrique s'il existe un nombre $q$ tel que $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout entier naturel $n.$ On appelle alors $q$ la raison de la suite.

  • Expression du terme général : pour $n\geq 0,$ $$u_n=q^n u_0.$$
  • Expression de la somme des premiers termes : pour $n\geq 0,$ on définit $S_n$ par $S_n=u_0+\cdots+u_n.$ Alors pour tout entier naturel $n,$ si $q\neq 1,$ on a $$S_n=\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}.$$ Si $q=1,$ $S_n=n+1$.
  • Somme de termes consécutifs : plus généralement, si $m\geq n\geq 0,$ alors pour $q\neq 1,$ $$u_n+\cdots+u_m=\frac{u_n-u_{m+1}}{1-q}.$$ On retient souvent cette formule sous la forme : $$u_n+\cdots+u_m=\frac{\textrm{premier terme}-\textrm{terme qui suit le dernier}}{1-\textrm{raison}}.$$
  • Comportement à l'infini : une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0>0$
    • tend vers $+\infty$ si $q>1$;
    • est constante si $q=1$;
    • tend vers 0 si $|q|<1$;
    • n'a pas de limites si $q\leq -1$.

Suites arithmético-géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a u_n+b$ pour tout entier $n$. En général, on demande $a\neq 1$ et $b\neq 0$ pour ne pas avoir une suite arithmétique ou une suite géométrique.

On cherche alors $\ell$ la solution de l'équation $$\ell=a\ell+b,$$ puis on étudie la suite $(v_n)$ définie par $$v_n=u_n-\ell.$$ On prouve facilement que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On étudie alors $(v_n)$ pour obtenir le comportement de $(u_n)$.