$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire et méthodes - Série de Fourier

Coefficients de Fourier
  • Définition : soit f une fonction 2pi-périodique, continue par morceaux (ou intégrable). Les coefficients de Fourier exponentiels de f sont définis par :
    Les coefficients de Fourier trigonométriques sont définis par les formules :
  • Méthodes pratiques de calcul :
    • Intervalle d'intégration : on peut remplacer ci-dessus l'intervalle [0,2pi] par n'importe quel autre intervalle de longueur 2pi.
    • Parité : si f est paire, les coefficients de Fourier en sinus, bn(f), sont nuls. Si f est impaire, les coefficients de Fourier en cosinus, an(f) sont nuls.
Séries de Fourier
  • Définition : on appelle série de Fourier de f la série :
    On peut également l'exprimer avec les coefficients exponentiels :
    On dit que f est développable en série de Fourier si la série de Fourier de f converge vers f sur R.
  • Théorème de Dirichlet :
    Théorème : Soit f une fonction continue, C1 par morceaux, 2pi-périodique. Alors la série de Fourier de f converge normalement vers f.
    Attention, il existe des fonctions continues qui ne sont pas somme de leur série de Fourier!
  • Egalité de Parseval :
    Théorème : Soit f une fonction continue par morceaux, 2pi-périodique. Alors on a les égalités suivantes :
Cas des fonctions T-périodiques
  Si f est continue T-périodique, il est usage d'introduire sa pulsation définie par . Les coefficients de Fourier de f sont alors définis par :
La série de Fourier de f est définie désormais par :
Les théorèmes précédents restent vrais, l'égalité de Parseval s'écrivant désormais : $$\frac1{T}\int_0^T|f(t)|^2dt=|a_0(f)|^2+\frac 12\left(\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right).$$