$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire et méthodes- Séries numériques

Etudier la série de terme général (STG) $ (u_n)$, c'est étudier la limite des sommes partielles $ \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nu_k$. On dit que la série converge si $ S_n$ admet une limite.

Séries de référence

Soit $ \displaystyle u_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Alors $ \sum u_n$ converge si, et seulement si, $ \alpha>1$. Cette série s'appelle série de Riemann.

La GROSSE erreur à ne pas faire!!!

Si la série de terme général $ u_n$ converge, alors $ u_n\to 0$. En revanche, ce n'est pas parce que $ u_n$ tend vers 0 que la série de terme général $ u_n$ converge. Le cas de $ \displaystyle u_n=\frac{1}{n}$ est frappant!

Séries à termes positifs

Quels sont les critères de convergence quand $ u_n\geq 0$?? On remarque que la suite des sommes partielles est croissante. Donc, elle converge si, et seulement si, elle est majorée. Ainsi :

\begin{displaymath}\textrm{Si }0\leq u_n\leq v_n,\left\{ \begin{array}{l} \textr... ...n$ diverge, alors la STG $v_n$ diverge.}\\ \end{array}\right.\end{displaymath}

  • Emploi des équivalents :
    Si $ u_n\sim v_n$ et $ u_n\geq 0$, alors les séries de terme général $ u_n$ et $ v_n$ sont de même nature.
    Ce critère s'emploie généralement quand on a des séries assez compliquées, on cherche un équivalent simple à l'aide de développements limités : $ \displaystyle \frac{1}{n^\alpha}\left((n+1)^{1+1/n}-(n-1)^{1-1/n}\right)$.
  • Autres relations de comparaison :

    \begin{displaymath}\textrm{Si $u_n=o(v_n)$ ou $u_n=O(v_n)$, alors }\left\{ \begi... ...n$ diverge, alors la STG $v_n$ diverge.}\\ \end{array}\right.\end{displaymath}

  • Règle de Cauchy :
    On suppose que $ u_n\geq 0$, et que $ \displaystyle\sqrt[n]{u_n}\to l\in[0,+\infty]$. Alors :
    1. Si $ l<1$, la série de terme général $ u_n$ converge.
    2. Si $ l>1$, la série de terme général $ u_n$ diverge.
    3. Si $ l=1$, on ne peut pas conclure.
    Ce critère s'emploie essentiellement quand $ u_n$ s'écrit avec des racines ou des puissances n-ièmes : $ \displaystyle u_n=\left(\frac{n-1}{2n+1}\right)^{n}$.
  • Règle de D'Alembert :
    On suppose que $u_n>0$, et que $ \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l\in[0,+\infty]$. Alors :
    1. Si $ l<1$, la série de terme général $ u_n$ converge.
    2. Si $ l>1$, la série de terme général $ u_n$ diverge.
    3. Si $ l=1$, on ne peut pas conclure.
    Ce critère s'emploie essentiellement quand $ u_n$ s'écrit avec des factorielles, des puissances... : $ \displaystyle\frac{x^n}{n!}$.
  • Comparaison avec une intégrale : Si $ f$ est continue par morceaux, positive, décroissante sur $ [a,+\infty[$, et si on définit $ u_n$ par $ u_n=f(n)$, alors la STG $ u_n$ et $ \displaystyle \int_a^{+\infty}f(t)dt$ sont de même nature. Il est bon de savoir redémontrer ce résultat, qu'on doit pouvoir retrouver à partir d'un petit dessin, et d'un encadrement de l'intégrale. C'est par exemple ainsi que l'on prouve facilement la convergence ou la divergence des séries de Riemann, ou celle des séries de Bertrand : $ \sum\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge ssi $ \alpha>1$ ou $ \alpha=1$ et $ \beta>1$.

    En outre, la comparaison à une intégrale fournit un encadrement du reste, ou des sommes partielles, qui peut être utile dans le cas où on s'intéresse à la vitesse de convergence, et à une valeur approchée de la limite :

    $\displaystyle \int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt\leq R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\leq\int_n^{+\infty}f(t)dt.$

Autres séries
  • Convergence absolue : A tester avant toute chose.
  • Règle $ n^\alpha u_n$ :
    1. S'il existe $ \alpha>1$ tel que $ n^\alpha u_n\to 0$ quand $ n\to +\infty$, alors la série de terme général $ u_n$ converge absolument.
    2. S'il existe $ \alpha\leq 1$ tel que $ n^\alpha u_n\to+\infty$ quand $ n\to +\infty$, alors la série de terme général $ u_n$ diverge.
    Ce critère peut par exemple être employé pour les séries de Bertrand : $ u_n=\frac{1}{n^\alpha(\log n)^\beta}$.
  • Critère des séries alternées :
    On considère une série de terme général $ u_n$ telle que :
    1. $ u_{n+1}$ est de signe opposé à $ u_n$.
    2. $ \vert u_n\vert$ décroît, et est de limite nulle en $ +\infty$.
    Alors la série de terme général $ u_n$ converge, et $ \displaystyle\vert R_n\vert=\vert\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\vert\leq \vert u_{n+1}\vert$.
  • Décomposition : Par des développements limités, essayer de décomposer une série en séries plus simples, et regarder la convergence de ces séries.
  • Transformation d'Abel : C'est l'analogue de l'intégration par parties pour les intégrales impropres, et elle s'emploie pour les séries du type $ \frac{\sin n}{n},\frac{e^{in\theta}}{n},\dots$.

    Si $ u_k=a_kb_k$, on écrit $ A_n=\sum_{k=0}^na_k$, ce qui donne $ a_k=A_k-A_{k-1}$. Alors :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^na_kb_k=a_0b_0+\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=a_0b_0-A_0b_1+A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k-1}).$

    On conclut le plus souvent quand :
    • $ A_n=\sum_{k=0}^na_k$ est borné.
    • $ \sum_{k=0}^{+\infty}\vert b_k-b_{k+1}\vert$ est absolument convergente, et $ \vert b_n\vert\to 0$.
Sommation des relations de comparaison

Bien souvent, on cherche à obtenir une valeur approchée de la limite d'une série convergente. Il faut pouvoir savoir à quelle vitesse on s'approche de la limite. Soit $ u_n,\ v_n$ des suites à termes positifs. On note :

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nu_k,\quad S'_n=\sum_{k=1}^nv_k\quad\textrm{ les sommes partielles}$      
$\displaystyle R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k,\quad R'_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\quad\textrm{ les restes (s'ils existent)}$      

  • Cas de la convergence : on compare les restes. On suppose que $ \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}u_k$ converge :
    $\displaystyle \textrm{si }v_n\sim u_n$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle R'n\sim R_n$  
    $\displaystyle \textrm{si }v_n=o( u_n)$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle R'n=o(R_n)$  
    $\displaystyle \textrm{si }v_n=O(u_n)$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle R'n=O(R_n)$  

  • Cas de la divergence : on compare les sommes partielles. On suppose que $ \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}u_k$ diverge :
    $\displaystyle \textrm{si }v_n\sim u_n$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle S'n\sim S_n$  
    $\displaystyle \textrm{si }v_n=o( u_n)$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle S'n=o(S_n)$  
    $\displaystyle \textrm{si }v_n=O(u_n)$ $\displaystyle \textrm{alors}$ $\displaystyle S'n=O(S_n)$