$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de Mathématiques : Lois discrètes de probabilités



Loi de Bernoulli
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi :
  • Espérance et variance :
Loi binomiale
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi : $$P(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}.$$
  • Espérance et variance :
  • Signification : Dans un schéma de Bernouilli à $n$ expériences (répétition indépendante de $n$ expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$.
Loi hypergéométrique
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi : $$P(X=k)=\frac{\binom mk\binom{N-m}{n-k}}{\binom Nn}.$$
  • Espérance et variance :
  • Signification : Si on procède à un tirage sans remise de $n$ boules dans une urne contenant $N$ boules dont $m$ boules blanches, la variable aléatoire comptant le nombre de boules blanches obtenues suit une loi hypergéométrique $\mathcal H(N,n,m)$.
Loi uniforme
  • Notation :
  • Univers : {1,...,n}
  • Loi :
  • Espérance et variance :
  • Signification : Choix d'une issue parmi $n$, chacune de ces issues étant équiprobable (exemple : lancer d'un dé bien équilibré).
Loi géométrique
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi :
  • Espérance et variance :
  • Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui vaut le rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$.
Loi de Poisson
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi :
  • Espérance et variance :
  • Signification : c'est la loi des phénomènes rares.
Loi multinomiale
  • Univers :
  • Loi :
    si k1+...+kr=n,
    sinon.
  • Signification : On considère une urne contenant une proportion $p_1$ de boules de type 1, $p_2$ de boules de type $2$,..., $p_r$ de boules de type $r$ et on procède à un tirage avec remise de $n$ boules dans cette urne. Si $X_i$ désigne la variable aléatoire égale au nombre de boules de type $i$ obtenu, alors le vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_r)$ suit une loi multinomiale.
Loi de Pascal
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi : $$P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}.$$
  • Espérance et variance :
  • Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui vaut le rang du $r$-ième succès suit une loi de Pascal de paramètres $r$ et $p$.
Loi binomiale négative
  • Notation :
  • Univers :
  • Loi : $$P(X=k)=\binom{k+r-1}k p^r(1-p)^k.$$
  • Espérance et variance :
  • Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre d'échecs avant le $r$-ième succès suit une loi binomiale négative de paramètres $r$ et $p$.