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Formulaire - Branches infinies

Asymptotes verticales

Si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.

Exemple : Si $f(x)=1/(x-1)$, la droite d'équation $x=1$ est asymptote à $C_f$.

Asymptotes obliques, et branches paraboliques

On étudie $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$ :

  • Cette limite n'existe pas. On ne peut rien dire...
  • Cette limite existe (et est éventuellement infinie). On note $a$ cette limite. On sépare alors plusieurs cas :
    • $a$ est infini : la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$.
    • $a$ est fini. On étudie alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)-ax$.
      • Cette limite existe, et est finie, on la note $b$. Alors la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.
      • Cette limite n'existe pas. Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=ax$. C'est le cas par exemple de $f(x)=x/2+\ln(x)$.
Cas particulier : quotient de polynômes

Si $f(x)=P(x)/Q(x)$, où $P$ et $Q$ sont deux polynômes,avec $\deg(P)=\deg(Q)+1$, alors $C_f$ admet une asymptote $y=ax+b$ en plus et moins l'infini. Pour l'obtenir, il suffit de faire la division de $P$ par $Q$, pour écrire $P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x)$ avec $\deg(R)<\deg(Q)$.