Formulaire de géométrie analytique dans l'espace
Calcul de distances
- Distance de $M$ à un plan donné par un point $A$ et deux vecteurs : $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|}{\|\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\|}.$$
- Distance de $M$ à un plan donné par trois points $A$, $B$, $C$ : $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{CM})|}{\|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\|}.$$
- Distance de $M(x_0,y_0,z_0)$ à un plan donné par une équation $ax+by+cz+d=0$ : $$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
- Distance de $M$ à une droite donnée par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec u$ : $$d=\frac{\|\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AM}\|}{\|\overrightarrow{u}\|}.$$
- Distance de deux droites $D_1$ et $D_2$ - méthode 1 : On cherche un point $A$ de $D_1$, puis un vecteur directeur $\vec u$ de $D_1$. On cherche ensuite un point $B$ de $D_2$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $D_2$. La distance recherchée est $$d=\frac{|\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)|}{\|\vec u\wedge\vec v\|}.$$
- Distance de deux droites $D_1$ et $D_2$ non parallèles - méthode 2 : on commence par rechercher la perpendiculaire commune $D$ à $D_1$ et $D_2$. Soit $A$ le point d'intersection de $D$ et $D_1$ et soit $B$ le point d'intersection de $D$ et $D_2$. Alors la distance recherchée est $AB$.
Comment déterminer une perpendiculaire commune?
Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites de l'espace non parallèles. On détermine dans l'ordre :
- $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs directeurs respectifs de $D_1$ et $D_2$;
- $\vec n=\vec u\wedge\vec v$;
- $P_1$ le plan contenant $D_1$ et dont $\vec n$ est vecteur directeur;
- $B$ l'intersection de $P_1$ avec la droite $D_2$.