$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de géométrie analytique du plan - Bibm@th

Produit scalaire
  • Définition :
  • Produit scalaire et coordonnées : si a pour coordonnées (x,y) et si a pour coordonnées (x',y'), alors
  • Produit scalaire et norme :
Déterminant
  • Définition :
  • Déterminant et coordonnées : si a pour coordonnées (x,y) et si a pour coordonnées (x',y'), alors
  • Déterminant et norme : $$\det(\vec u,\vec v)^2+(\vec u\cdot \vec v)^2=\|\vec u\|^2\times \|\vec v\|^2.$$
  • Aire du triangle ABC :
Différentes équations de droites
  • équation cartésienne vers représentation paramétrique : on choisit une des coordonnées comme paramètre, et on exprime l'autre coordonnée en fonction de ce paramètre.
    Ex : Donner une équation cartésienne de la droite
    La deuxième équation nous donne t=1-y. En remplaçant dans la première, on trouve x=3+2-2y. Une équation cartésienne est donc x+2y=5.
  • représentation paramétrique vers équation cartésienne : on exprime le paramètre en fonction de l'une des deux coordonnées, et on remplace dans l'autre équation.
    Ex : Donner une représentation paramétrique de la droite d'équation 2x-3y=4. Si on note (D) cette droite, on a
    Une représentation paramétrique de (D) est donc
  • équation cartésienne vers équation polaire : poser et .
    Ex : Donner une équation polaire de la droite 2x-3y=4. En utilisant le changement de coordonnées précédent, on obtient
  • équation polaire vers équation cartésienne : remplacer $\cos(\theta)$ par $x/r$ et $\sin\theta$ par $y/r$. Ex : Donner une équation cartésienne de la droite d'équation . Pour cela, on écrit : $$r=\frac 2{\sqrt 3\cos\theta+\sin\theta}\iff \sqrt 3r\cos \theta+r\sin\theta=2\iff \sqrt 3 x+y=2.$$
Calcul de distances
  • Distance de M à la droite (D) déterminée par le point A et le vecteur directeur :
  • Distance de M(x0,y0) à la droite d'équation ax+by+c=0 :