Formulaire - Fonctions logarithmes
Fonction logarithme népérien
- Notation : $\ln x$
- Domaine de définition : $]0,+\infty[$
- Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\ \ln(a^n)=n\ln a.$$
- Dérivée : $x\mapsto \frac 1x$
- Sens de variation : croissante
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
- Courbe représentative :
Fonction logarithme de base $a$
- Définition et notation : pour $a>0$ et $a\neq 1$, $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.
- Domaine de définition : $]0,+\infty[$
- Propriétés opératoires : $$\forall x,y>0,\ \forall n\geq 1,\ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y),\ \log_a\left(\frac xy\right)=\log_a x-\log_a y,\ \log_a(x^n)=n\log_a x.$$
- Dérivée : $x\mapsto \frac 1{(\ln a)x}$
- Sens de variation : croissante si $a>1$, décroissante si $a<1$.
- Limites aux bornes : $$\textrm{Si }a>1,\ \lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty, \lim_{x\to+\infty}\log_a x=+\infty.$$ $$\textrm{Si }a<1,\ \lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty, \lim_{x\to+\infty}\log_a x=-\infty.$$
- Courbe représentative :
