$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire : Equations différentielles particulières



  On donne ici juste des méthodes, qu'il faudra rendre rigoureuses au cas par cas.

Variables séparables :
  Une équation différentielle est à variables séparables si f peut se mettre sous la forme :
L'équation différentielle devient : . Si A et B sont des primitives respectives de a et b, une solution y vérifie :
Si on arrive à inverser B, on pourra obtenir y.

Equation de Bernoulli :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
On cherche les solutions qui ne s'annulent pas :
On pose : $z=y^{1-\alpha}$. On obtient :
On obtient une équation linéaire d'ordre 1 en z, que l'on sait résoudre.

Exemple : Soit à résoudre . On pose On obtient donc :
Ce qui donne au final :
Equation de Ricatti :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
Si on connait une solution particulière y0, alors on sait résoudre cette équation différentielle. On pose : , et en remplaçant :
On obtient une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre.

Equation de Lagrange :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
On cherche les solutions affines , avec a(m)=m. On cherche à paramétrer le graphe avec p=y', en supposant y C2, et y'' qui ne s'annule pas. On a alors :
On dérive par rapport à p :
On obtient une équation linéaire du premier ordre, que l'on sait résoudre, et l'on trouve . On connait alors y(p) grâce à l'équation initiale. Un paramétrage du graphe des solutions C2 est donc donné par : .

Equation de Clairaut :
  Il s'agit des équations différentielles du type :
Il s'agit d'un cas particulier de l'équation de Lagrange, que l'on résoud de la même façon.

Exemple : Résoudre y=ty'-y2/4. On utilise le paramètre p=y'. L'équation s'écrit alors : y=tp-p2/4, donc dy=pdt+tdp-pdp/2, c'est-à-dire (t-p/2)dp=0.
  • Lorsque dp=0, on trouve les solutions affines, qui sont de la forme mt-m2/4.
  • Lorsque t-p/2=0, on trouve la solution t2.