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Formulaire : Système différentiel linéaire



  On considère un système Y'=AY, où , et A est une matrice n×n

A est diagonalisable :
  Soit une base de vecteurs propres pour A, et les valeurs propres associées. Les forment un système fondamental de solutions.

A est trigonalisable :
  Soit les valeurs propres de la matrice, et n1,...,np leur multiplicité respective. La solution générale de Y'=AY s'écrit :
où Pi est un polynôme (à coefficient vectoriel) de degré inférieur (ou égal) à ni-1. Les coefficients des Pi ne sont pas quelconques. On les précise par la méthode des coefficients indéterminés.

Exemple :

Les valeurs propres de A sont 1 (valeur propre simple), et 2 (valeur propre double). Le vecteur propre pour 1 est . A n'est pas diagonalisable, les solutions de l'équation différentielle correspondant à la valeur propre 2 s'écrivent :
Pour déterminer la valeur possible pour les , on écrit que Y est solution du systèmre :
La résolution du système donne :
La solution générale du système différentiel est donc :

Equation avec second membre, variation de la constante :
  On résout désormais :
Si est un système fondamental de solutions de l'équation sans second membre, on cherche une solution sous la forme :
On a alors :
On en déduit .

Equation avec second membre, recherche directe d'une solution particulière :
  Si B(t)=emtP(t), où P est un polynôme vectoriel de degré k, on cherche une solution particulière sous la forme Y(t)=emtQ(t), où Q est un polynôme de degré inférieur à k+ordre de multiplicité de m comme valeur propre de A.