$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire : Equations différentielles linéaires scalaires



Premier ordre, sans second membre :
  L'équation différentielle a la forme suivante :
Si la fonction a ne s'annule pas, et si A est une primitive sur I de la fonction , les solutions sur I de l'équation (E0) sont les fonctions de la forme :


Premier ordre, avec second membre :
  On cherche une solution simple (correspondant à un cas physique particulier) ou bien on utilise la méthode de variation de la constante, à partir d'une solution de l'équation sans second membre.

Second ordre :
  Même pour l'équation sans second membre, il n'existe pas de formule générale donnant les solutions. On cherche en général des solutions ayant une forme simple, en recherchant par exemple les solutions développables en séries entières.

Exemple : Soit à résoudre :
On cherche une solution développable en série entière, c'est-à-dire qui s'écrit Sous ces conditions, on a :
Si y est solution de l'équation différentielle, on a par suite :
ce qui donne, après une récurrence immédiate :
On reconnait le développement en série entière de . Dans une seconde phase de synthèse, on considère les deux fonctions , et on vérifie qu'elles sont solutions de l'équation différentielle.

  Par ailleurs, lorsqu'on connait une solution y1 de l'équation homogène, qui ne s'annule pas sur I, on peut en trouver une seconde y2, indépendante de y1, en posant y2(t)=z(t)y1(t). z' vérifiera alors une équation différentielle d'ordre 1 (technique d'abaissement de l'ordre par variation de la constante).

Exemple : Soit à résoudre :
Il est facile de vérifier que y1(t)=sin t est solution de l'équation différentielle. En posant y2(t)=z(t)y1(t), et en écrivant que y1 et y2 vérifient l'équation différentielle, on obtient :
On en déduit z', et finalement z, puis y2.