Formulaire - Développements en séries entières
Obtenus à partir de $e^x$
$$\begin{array}{rcll}
e^x&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!},& R=+\infty\\
\cos x&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},& R=+\infty\\
\sin x&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},& R=+\infty\\
\cosh x&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{(2n)!},& R=+\infty\\
\sinh x&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!},& R=+\infty\\
\end{array}
$$
$1/(1-x),$ et ceux que l'on obtient par intégration à partir de lui
$$\begin{array}{rcll}
\displaystyle \frac{1}{1-x}&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}x^n,& R=1\\
\displaystyle \frac{1}{1+x}&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}(-1)^n x^n,& R=1\\
\ln(1+x)&=&\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n,& R=1\\
\ln(1-x)&=&\displaystyle -\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n},& R=1\\
\arctan(x)&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}& R=1\\
\textrm{arctanh}(x)&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}& R=1\\
\end{array}
$$
Les autres!
$$\begin{array}{rcll}
\displaystyle (1+x)^\alpha&=&\displaystyle 1+\sum_{n\geq 1}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n,& R=1\\
\arcsin(x)&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1},&R=1\\
\textrm{arcsinh}(x)&=&\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1},&R=1\\
\end{array}$$