$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de Mathématiques : Calcul des dérivées



Dérivée d'une somme et du produit par une constante :
  Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, alors les fonctions $ f+g$ et $ \lambda f$ sont dérivables en $ x_0$, et

$\displaystyle (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\quad\quad\textrm{et}\quad\quad(\lambda f)'(x_0)=\lambda f'(x_0).$

Dérivée d'un produit :
  Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, alors la fonction $ fg$ est dérivable en $ x_0$ et

$\displaystyle (fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0).$

Dérivée de l'inverse :
  Soit $ f$ une fonction dérivable en $ x_0$. Si $ f(x_0)\neq 0$, alors la fonction $ 1/f$ est dérivable en $ x_0$, et

$\displaystyle \left(\frac{1}{f}\right)'(x_0)=\frac{-f'(x_0)}{\big(f(x_0)\big)^2}.$

Dérivée d'un quotient :
  Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions dérivables en $ x_0$, avec $ g(x_0)\neq 0$, alors la fonction $ f/g$ est dérivable en $ x_0$ et

$\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{\big(g(x_0)\big)^2}.$

Dérivée d'une composée :
  Soient $ f$ et $ g$ des fonctions telles que la composée $ g\circ f$ est définie. Si $ f$ est dérivable en $ x_0$, et si $ g$ est dérivable en $ f(x_0)$, alors $ g\circ f$ est dérivable en $ x_0$ et :

$\displaystyle (g\circ f)'(x_0)=f'(x_0)g'(f(x_0)).$

Dérivée d'une fonction réciproque :
  Soient $ I$ un intervalle ouvert, et $ f$ une fonction dérivable et strictement monotone sur $ I$. Posons $ J=f(I)$, et notons $ g:J\to I$ la bijection réciproque de l'application bijective de $ I$ dans $ J$ définie par $ f$. Si l'on a $ f'(t)\neq 0$ quel que soit $ t$ dans I, alors $ g$ est dérivable sur $ J$, et l'on a :

$\displaystyle g'(t)=\frac{1}{f'(g(t))}.$

Formule de Leibniz :
  Si $ f$ et $ g$ sont des fonctions $ n$ fois dérivables, alors la fonction $ fg$ est $ n$ fois dérivable, et $$ (fg)^{(n)}=f^{(n)}g+\binom n1 f^{(n-1)}g'+\binom n2 f^{(n-2)}g''+\dots+\binom nkf^{(n-k)}g^{(k)}+\dots+fg^{(n)}, $$ où les nombres $\binom nk$ sont les coefficients binomiaux.