$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Courbes paramétrées en polaire

  On donne ici des techniques générales d'étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires $\theta\mapsto\rho(\theta)$ définie sur $D$. Le repère polaire associé à l'angle $\theta$ sera noté $(O,\vec u_{\theta},\vec v_{\theta})$. Ces vecteurs sont définis par $$\left\{ \begin{array}{rcl} \vec u_\theta&=&\cos\theta\vec i+\sin\theta\vec j\\ \vec v_\theta&=&-\sin\theta\vec i+\cos\theta\vec j. \end{array} \right. $$
Réduction de l'intervalle d'étude - Symétries et rotations
  • Périodicité et rotation : si $\rho(\theta+T)=\rho$ (et $\theta\in D\iff \theta+T\in D$), alors la courbe paramétrée est invariante par rotation d'angle $T$. Le cas le plus intéressant se produit lorsque $\theta=\frac{k2\pi}{p}$. On peut alors restreindre l'intervalle d'étude à tout intervalle de longueur $T$. On déduira le reste de la courbe paramétrée en effectuant $p-1$ rotations, d'angles respectifs $T,2T,\dots,(p-1)T$.
  • Parité et symétrie par rapport à $(Ox)$ : Si $\rho$ est paire, la courbe est invariante par réflexion par rapport à l'axe $(Ox)$. On peut restreindre le domaine d'étude à $[0,+\infty[$, puis construire toute la courbe en effectuant une symétrie d'axe $(Ox)$.
  • Symétrie 1 : plus généralement, si $\rho(\theta_0-\theta)=\rho(\theta)$, alors on peut restreindre le domaine d'étude à $[\theta_0/2,+\infty[$ et obtenir le tracé complet en effectuant la symétrie par rapport à la droite passant par $O$ et dirigée par $\vec u_{\theta_0/2}$.
  • Imparité et symétrie par rapport à $(Oy)$ : Si $\rho$ est impaire, la courbe est invariante par réflexion par rapport à l'axe $(Oy)$. On peut restreindre le domaine d'étude à $[0,+\infty[$, puis construire toute la courbe en effectuant une symétrie d'axe $(Oy)$.
  • Symétrie 2 : plus généralement, si $\rho(\theta_0-\theta)=-\rho(\theta)$, alors on peut restreindre le domaine d'étude à $[\theta_0/2,+\infty[$ et obtenir le tracé complet en effectuant la symétrie par rapport à la droite passant par $O$ et dirigée par $\vec v_{\theta_0/2}$.
Branches infinies
  • Au voisinage de $\theta_0$ : si $\rho(\theta)\to\pm\infty$ lorsque $\theta$ tend vers $\theta_0$, alors la courbe admet une branche infinie de direction asymptotique la droite d'angle polaire $\theta=\theta_0$. Pour étudier plus précisément cette branche infinie, on travaille dans le repère $(O,\vec u_{\theta_0},\vec v_{\theta_0})$. Le point $M(\theta)$ de la courbe a pour coordonnées dans ce repère $$X(\theta)=\rho(\theta)\cos(\theta-\theta_0)\textrm{ et }Y(\theta)=\rho(\theta)\sin(\theta-\theta_0).$$ $X(\theta)$ tend vers $\pm\infty$ lorsque $\theta$ tend vers $\theta_0$ et la nature de la branche infinie est donnée par le comportement de $Y(\theta)$ :
    • Si $\lim_{\theta\to\theta_0}Y(\theta)=l$, alors la courbe admet une asymptote d'équation $Y=l$ dans le repère $(O,\vec u_{\theta_0},\vec v_{\theta_0})$.
    • Si $\lim_{\theta\to\theta_0}Y(\theta)=\pm\infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'angle polaire $\theta=\theta_0$.
  • Au voisinage de $+\infty$ : on distingue plusieurs cas :
    • Si $\rho(\theta)\to\pm\infty$, alors la courbe présente une branche infinie en forme de spirale (qui s'écarte de plus en en plus de l'origine).
    • Si $\rho(\theta)\to a\neq 0$, alors la courbe est une spirale qui s'enroule autour du cercle de centre $O$ et de rayon $|a|$, appelé cercle asymptote de la courbe $C$.
    • Si $\rho(\theta)\to 0$, alors la courbe se présente comme une spirale qui s'enroule autour du point $O$, qui est aussi appelé point asymptote.
Etude locale d'un arc paramétré - tangente
  Pour une courbe paramétrée en coordonnées polaires, seule l'origine peut être un point stationnaire. Ceci se produit si et seulement si $\rho(\theta)=0$ (on est à l'origine) et $\rho'(\theta)=0$.
  • Tangente ailleurs qu'en l'origine : Soit $V$ l'angle fait entre la tangente à la courbe en $\theta$ et la droite $(O,\vec u_{\theta})$. Alors $$\tan V=\frac{\rho(\theta)}{\rho'(\theta)}, \textrm{ avec }V=\pi/2\textrm{ si }\rho'(\theta)=0.$$ En particulier, en un point $M(\theta)$ de la courbe autre que l'origine tel que $\rho'(\theta)=0$, la tangente à la courbe en $M(\theta)$ est orthogonale à la droite $(OM(\theta))$.
  • Tangente en l'origine : si $\rho(\theta)=0$, la tangente à l'origine correspondante est toujours dirigée par le vecteur $\vec u_\theta$.
  Remarquons enfin que, pour le tracé de la courbe paramétrée, les variations de $\rho$ sont importantes, ainsi que le signe de $\rho(\theta)$.