$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Courbes paramétrées

Réduction de l'intervalle d'étude
  Soit $(x(t),y(t))$ une courbe paramétrée définie sur un intervalle $I$. On peut souvent réduire l'intervalle d'étude de la courbe paramétrée en exploitant les symétries de cette courbe.
  • Symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$. Si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} x(a-t)&=&x(t)\\ y(a-t)&=&-y(t) \end{array}\right.$$ alors on peut se contenter de tracer la courbe pour $t\in [a/2,+\infty[\cap I$. Le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$.
  • Symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$. Si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} x(a-t)&=&-x(t)\\ y(a-t)&=&y(t) \end{array}\right.$$ alors on peut se contenter de tracer la courbe pour $t\in [a/2,+\infty[\cap I$. Le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$.
  • Symétrie par rapport à l'origine. Si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} x(a-t)&=&-x(t)\\ y(a-t)&=&-y(t) \end{array}\right.$$ alors on peut se contenter de tracer la courbe pour $t\in [a/2,+\infty[\cap I$. Le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'origine.
  • Symétrie par rapport à la première bissectrice. Si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} x(a-t)&=&y(t)\\ y(a-t)&=&x(t) \end{array}\right.$$ alors on peut se contenter de tracer la courbe pour $t\in [a/2,+\infty[\cap I$. Le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à la première bissectrice.
  • Translation. Si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} x(a-t)&=&x(t)+\alpha\\ y(a-t)&=&y(t)+\beta \end{array}\right.$$ alors on peut se contenter de tracer la courbe pour $t\in [a/2,+\infty[\cap I$. Le reste de la courbe se déduit par translation de vecteur $(\alpha,\beta)$.
Plus généralement, on peut avoir de telles symétries en considérant $t\mapsto \phi(t)$ et pas seulement $t\mapsto a-t$. On peut alors se contenter de tracer la courbe pour $t$ appartenant à un ensemble $J$ tel que $J\cup\phi(J)=I$, et en effectuant ensuite la transformation adéquate.
Branches infinies
  La courbe paramétrée $(x(t),y(t))$ définie sur $I$ admet une branche infinie en $t_0$ (éventuellement $t_0=\pm\infty$) si l'une au moins des deux coordonnées tend vers $\pm\infty$ lorsque $t$ tend vers $t_0$. On distingue alors plusieurs cas :
  • Si $x\to\pm\infty$ et $y\to y_0$, alors la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=y_0$.
  • Si $y\to\pm\infty$ et $x\to x_0$, alors la courbe possède une asymptote verticale d'équation $x=x_0$.
  • Si $x$ et $y$ tendent vers $\pm\infty$, alors on étudie le quotient $\frac yx$. S'il admet une limite finie $a$, on dit que la droite $y=ax$ est une direction asymptotique de la courbe. Si $a=\pm\infty$, on dit que l'axe $(Oy)$ est une direction asymptotique de la courbe.
  • Dans le cas où on a une direction asymptotique d'équation $y=ax$, on étudie la différence $y(t)-ax(t)$. Si elle tend vers une limite finie $b$, on dit que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe. Si cette différence tend vers $\pm\infty$, la courbe présente une branche parabolique de direction $y=ax$.
Etude locale d'un arc paramétré - sans développement limité
  Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $C^1$, et soit $t_0\in I$. Si le vecteur $(x'(t_0),y'(t_0))$ est non-nul, il est un vecteur directeur de la tangente à la courbe au point $(x(t_0),y(t_0))$.

  S'il est nul, on peut appliquer la méthode suivante : si le quotient $\displaystyle \frac{y'(t)}{x'(t)}$ admet une limite $a$ quand $t$ tend vers $t_0$, alors la courbe admet une tangente au point $(x(t_0),y(t_0)$ dont le coefficient directeur est $a$.
Etude locale d'un arc paramétré - avec développement limité
  Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^n$ et soit $t_0$ appartenant à $I$. On suppose qu'il existe deux vecteurs $f^{(k)}(t_{0})$ et $f^{(l)}(t_{0})$ qui sont linéairement indépendants. On note alors :

Alors $p$ et $q$, ainsi que les vecteurs correspondants $f^{( p)}(t_{0})$ et $f^{(q)}(t_{0})$ déterminent le comportement local de la courbe paramétrée au voisinage du point $M=M(t_{0})$. D'une part, la courbe paramétrée admet en $M(t_{0})$ une tangente de vecteur directeur $f^{(p )}(t_{0})$. D'autre part, suivant la parité de $p$ et $q$, on a les cas suivants :
  • $p$ est impair et $q$ est pair (typiquement $p=1$ et $q=2$). $M(t_{0})$ est alors un point ordinaire, et la courbe a l'allure suivante :

  • $p$ est impair et $q$ est impair : la courbe traverse sa tangente en $M(t_{0})$ qui est un point d'inflexion.

  • $p$ est pair et $q$ est impair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en traversant sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de première espèce.

  • $p$ est pair et $q$ est pair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en restant du même côté que sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de seconde espèce.

En général, les entiers $p$ et $q$ et les vecteurs associés sont déterminés non pas un dérivant successivement $f$, mais en effectuant un développement limité au voisinage des points où $f'(t)=0$.