$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Interprétation géométrique des nombres complexes

Le plan complexe
  Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le point image de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé le plan complexe.
Sur la figure précédente, les affixes respectives de A, B et C sont : 1+2i, -1, 2-i.
Propriétés liées au module, à l'argument, au conjugué
  • Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z.
  • Plus généralement, si A est d'affixe a, B d'affixe B, la longueur AB vaut |a-b|.
  • Si M est d'affixe z, alors on a :
  • Plus généralement, si A,B,C et D sont d'affixes respectives a,b,c et d, alors :
  • Si M est le point d'affixe z, alors :
    • le point d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe (Ox).
    • le point d'affixe -z est le symétrique de M par rapport à l'origine.
    • le point d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe (Oy).
Configurations géométriques
  • Condition d'alignement : A(a), B(b) et C(c) sont alignés ssi est réel.
  • Condition d'orthogonalité : les droites (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si est imaginaire pur.
  • Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
  • Triangle équilatéral : Les points A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral direct si, et seulement si : a+jb+j2c=0.
  • Barycentre : Si G est le barycentre des points Mk d'affixe zk, affectés des coefficients xk, alors l'affixe de G est :
Similitudes directes
Théorème et définition : Soient a et b deux nombres complexes, a non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe az+b. Alors :
  • Si a=1, f est la translation dont le vecteur est le vecteur d'affixe b.
  • Si a est différent de 1, f possède un unique point invariant I, d'affixe b/(b-a). f est alors la composée de la rotation r de centre I, et d'angle arg(a) et de l'homothétie de centre I et de rapport |a|.
    f s'appelle la similitude directe de centre I, de rapport |a|, et d'angle arg(a).