Formulaire - Nombres complexes et trigonométrie
Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n\in\mathbb N,$ alors $$(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$ Cette formule permet par exemple d'exprimer $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ en fonction de puissances de $\cos(x)$ et/ou $\sin(x)$.
Exemple : On souhaite exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$. Nous avons : $$\cos(3x)=\mathrm{Re}(\cos(3x)+i\sin(3x))=\mathrm{Re}\big((\cos x+i\sin x)^3\big).$$ Développons en appliquant la formule du binôme : $$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3(x)+3i\cos^2(x) \sin (x) -3\cos (x) \sin^2(x)-i\sin^3(x).$$ Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ : $$\cos(3x)=\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)=4\cos^3(x)-3\cos x.$$
Pour tout réel $x,$ $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\textrm{ et }\sin(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}.$$ Ces formules permettent de linéariser $\cos^n(x)$ et $\sin^n(x)$, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction des $\cos(px)$ et $\sin(px)$, pour $1\leq p\leq n$.
Exemple : \begin{align*} \sin^4(x)&=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\right)^4\\ &=\frac 1{16}\left(e^{4ix}-4e^{i2x}+6-4e^{-2ix}+e^{-i4x}\right)\\ &=\frac 18\left(\cos(4x)-4\cos(2x)+3\right) \end{align*} où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.
La linéarisation est souvent utile en analyse. Le calcul précédent permet ainsi d'obtenir aisément une primitive de $\sin^4(x)$ ...