$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Formulaire de mathématiques >

Formulaire - Equations et nombres complexes

Racine carrée d'un nombre complexe
  Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On dispose de deux méthodes pour résoudre l'équation z2=w :
  • Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup les calculs. On connait alors en effet la somme x2+y2 et la différence x2-y2. Il est alors aisé d'en déduire les valeurs de x2 et y2!
  • Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (voir ci-dessous).
Exemple :On souhaite résoudre z2=2+i. On pose z=x+iy. Nous avons :
La condition 2xy=1 nous permet d'affirmer que x et y sont de même signe (soit tous deux positifs, soit tous deux négatifs). Finalement, l'ensemble des solutions est :
Equations du second degré
  Soit (E) l'équation az2+bz+c=0, d'inconnue z, où a,b,c sont des complexes, et a est non nul. Le discriminant de cette équation est :
  • Si le discriminant est nul, alors l'équation (E) admet une racine double : z=-b/2a.
  • Si le discriminant est non nul soit l'une des racines carrées (complexe) de ce discriminant. Alors (E) admet deux racines complexes :
Remarque : Ainsi, tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet une racine dans l'ensemble des nombres complexes. Plus généralement, le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine dans C.
Racine n-ième d'un nombre complexe non nul
  Si w est un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe tel que zn=w.
Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes.
La méthode de recherche est la suivante :

  On appelle racine n-ième de l'unité les racines n-ièmes dans C du nombre complexe 1. Elles sont données par :
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est un groupe cyclique d'ordre n du groupe (C*,×). La racine wk engendre ce groupe si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.