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Formulaire - définition des nombres complexes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe???
Théorème : Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant :
  • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...).
  • Il existe un élément i de C tel que i2=-1.
  • Tout élément de C s'écrit de manière unique z=a+ib, avec a,b des réels.
C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire :
  • a s'appelle partie réelle de z, se note Re(z).
  • b s'appelle partie imaginaire de z, se note Im(z).
  • Si Re(z)=0, on dit que z est un imaginaire pur.
  • si z=a+ib, le nombre complexe a-ib s'appelle le conjugué de z.
  • z=a+ib s'appelle la forme cartésienne de z.

Opérations algébriques sur les nombres complexes
  La multiplication et l'addition sur C prolongent celles de R et vérifient les mêmes propriétés. En particulier :
  • (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')
  • (a+ib)×(a'+ib')=(aa'-bb')+i(a'b+ab')
  Tout nombre complexe non nul possède un inverse. Si z=a+ib, on a :
Il n'est en général pas question de retenir cette dernière formule, mais on la retrouve au "coup par coup" en utilisant le conjugué. Par exemple :
  Le passage au conjugué est compatible avec les opérations précédentes. Ainsi :