$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de Mathématiques : combinaisons avec répétition



Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison avec répétition de p éléments de E toute collection de p éléments [x1,...,xp], non ordonnée, et non nécessairement distincts.
On note le nombre de combinaisons avec répétitions de p éléments parmi n.

Ex :
  • E={R,V,B}. B=[B,B,R,V,V] est une combinaison avec répétition de 5 éléments de E.
  • On souhaite répartir p chiffons dans n tiroirs. On note les tiroirs t1,...,tn. A une répartition, on associe le mot t1...t1t2...t2...tn...tn, où chaque ti est répété autant de fois que le nombre de chiffons rangés dans le tiroir. On obtient une combinaison avec répétition.
  • Quel est le cardinal de l'ensemble :{(x1,...,xn) de Nn; x1+...+xn=p}? On se ramène au problème précédent : à un élément (x1,...,xn), on associe le rangement de xi chiffons dans le tiroir i.
Théorème : Le nombre de combinaisons avec répétition de p éléments parmi n vaut : $$\Gamma_n^p=\binom {n+p-1}p=\binom{n+p-1}{n-1}.$$