Formulaire de Mathématiques : $p$-listes et arrangements
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. On appelle $p$-liste de $E$ toute suite $(x_1,\dots,x_p)$ où chaque $x_k$ est élément de $E.$
Ex : Tirage avec remise
Une urne contient $n$ boules numérotés de $1$ à $n.$ On tire successivement $p$ boules en remettant chaque fois dans l'urne la boule qu'on vient de tirer. On note $(x_1,\dots,x_p)$ la suite des numéros obtenus. Alors $(x_1,\dots,x_p)$ est une $p$-liste. Le nombre de tirages possibles est donc $n^p.$
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments, on appelle arrangement de $p$ éléments de $E$ toute $p$-liste d'éléments distincts de $E$.
On note $A_n^p$ le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi un ensemble à $n$ éléments. On a : $$A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}=n(n-1)\cdots(n-p+1).$$
Un arrangement de $n$ éléments d'un ensemble $E$ à $n$ éléments s'appelle une permutation de $E.$ D'après la formule précédente, il y a $n!$ permutations de E.
Ex : Tirage sans remise
Une urne contient $n$ boules numérotés de $1$ à $n.$ On tire successivement $p$ boules sans les remettre dans l'urne, et on note $(x_1,\dots,x_p)$ un résultat de cette expérience. Alors $(x_1,\dots,x_p)$ est un arrangement de $p$ éléments parmi $n.$ Il y a $A_n^p$ tirages différents possibles.