pentium-mix
Bonjour
S'il vous plait je n'arrive pas a déterminer les éléments caractéristiques de cette rotation
https://www.cjoint.com/c/MCBkHIpHdh6
J'ai déjà répondu a la première question je suis au niveau de la seconde
Merci
michel-coste
Bonjour,
Quelle est ta réponse à la première question ?
pentium-mix
Michel Coste wrote:Bonjour,
Quelle est ta réponse à la première question ?
Pour que la matrice soit celle d'une rotation, il faut qu'elle soit orthogonale et de déterminant 1
C'est a dire que ab+ac+bc=0 , a^2+b^2+c^2=1 et a+b+c=1
Cela signifie que les coefficients a,b,c sont solution du polynôme donné avec K=bac
Ensuite pour terminer, ce trinôme doit avoir exactement 3 racines reelles
Ce qui permet, après études des variations du polynôme d'ecrire 0<=K<=4/27
Voilà
michel-coste
OK.
Il n'est pas trop difficile de trouver l'axe de la rotation (droite propre de vecteur propre associé 1).
Pour l'angle de rotation [tex]\theta[/tex], on peut commencer par se souvenir de ce qu'est la trace d'une matrice de rotation d'angle [tex]\theta[/tex].
plem06
Bonsoir !
Bon alors désolé, mais je ne viens pas apporter une réponse (je pense que l'indication de Michel suffit), mais poser des questions sur le raisonnement initial qui me met en difficulté :
1a) Je ne comprends pas comment on arrive aussi facilement aux expressions ab+ac+bc=0 , a^2+b^2+c^2=1 et a+b+c=1 en partant du fait que la matrice est orthogonale et de det=1... Pour ma part :
- det=1 donne a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]=1
- Dire que les vecteurs colonne ou ligne de la matrice sont orthogonaux amène tout au plus une seule équation ab+ac+bc=0 par produit scalaire
--> Je ne comprends pas comment tu arrives aussi directement à tes équations et comment on peut dire qu'elles correspondent au polynome recherché
- Donc pour ma part j'utilise A[sup]-1[/sup] = [sup]t[/sup]A avec la comatrice, ce qui amène directement le système a[sup]3[/sup]=a[sup]2[/sup]+abc, b[sup]3[/sup]=b[sup]2[/sup]+abc, c[sup]3[/sup]=c[sup]2[/sup]+abc, qui correspondent donc tous les 3 à l'équation du polynôme indiqué avec k=abc. Mais ça m'intéresserait de comprendre ton approche.
1b) Pour la réciproque, c'est pareil, je suis sec. D'où vient l'idée que ce polynôme doit avoir exactement trois racines réelles ? J'avoue que je ne comprends même pas d'où il sort, ce polynôme, le seul auquel je pense serait le polynôme caractéristique, mais qui, pour une rotation, devrait être homogène à un (x-1) [(x-cos(theta))² + sin²(theta)] non ? (donc 3 racines réelles uniquement pour theta=0 ou PI) ?
Merci de votre aide !
Pierre
michel-coste
Tu oublies que les colonnes (et les lignes) d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée, et en particulier sont de norme 1.
Tu t'es trompé dans ton calcul de déterminant. Ce n'est pas [tex]a^3+b^3+c^3[/tex]. Tous calculs faits, c'est [tex](a+b+c)^3[/tex].
Si on connaît [tex]a+b+c[/tex] et [tex]ab+bc+ca[/tex], on connaît deux des coeffcients du polynôme unitaire de degré 3 dont [tex]a,b,c[/tex] sont racines. Les relations coefficients-racines, ça te dit quelque chose ? Enfin, ce polynôme de degré trois se doit d'avoir trois racines réelles : les coefficients d'une matrice de rotation sont réels, n'est-ce pas ?
plem06
Merci pour ce complément Michel, mais il manque encore quelques pièces à mon puzzle.
Ca m'énerve, je me dis que ça doit être juste devant mes yeux, mais je n'y arrive pas :
1)
a) Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc (= 1) non ?
selon première colonne : (-1)² a(a²-bc) + (-1)[sup]3[/sup] c(ab-c²)+(1)[sup]4[/sup]b(b²-ac) ?
b) Si je ne me suis pas trompé ci-dessus (une vérif à la calculatrice semble me dire que non), comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
c) Merci pour mon oubli sur le fait que matrice orthogonale --> vecteurs orthonormés donc a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]=1
Et merci aussi pour les relations racines/coeffs dont j'avais oublié certaines !
2) Pour la réciproque :
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ? Une rotation, c'est pas diagonalisable en général, donc si c'était lui, il devrait pas avoir 3 racines de toute façon...
Tu me dis que les coeffs d'une rotation sont réels : soit, mais, sauf erreur, son polynome carac est pas scindé : en dimension 3, on n'a qu'une racine si elle n'est pas l'identité ou une symétrie axiale, non ?
Merci !
pentium-mix
L'énoncé dis que a, b, c sont racine du polynôme. Ces racines sont réelles et c'est un polynôme de degré 3 sur R
plem06 wrote:Merci pour ce complément Michel, mais il manque encore quelques pièces à mon puzzle.
Ca m'énerve, je me dis que ça doit être juste devant mes yeux, mais je n'y arrive pas :
1)
a) Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc (= 1) non ?
selon première colonne : (-1)² a(a²-bc) + (-1)[sup]3[/sup] c(ab-c²)+(1)[sup]4[/sup]b(b²-ac) ?
b) Si je ne me suis pas trompé ci-dessus (une vérif à la calculatrice semble me dire que non), comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
c) Merci pour mon oubli sur le fait que matrice orthogonale --> vecteurs orthonormés donc a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]=1
Et merci aussi pour les relations racines/coeffs dont j'avais oublié certaines !
2) Pour la réciproque :
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ? Une rotation, c'est pas diagonalisable en général, donc si c'était lui, il devrait pas avoir 3 racines de toute façon...
Tu me dis que les coeffs d'une rotation sont réels : soit, mais, sauf erreur, son polynome carac est pas scindé : en dimension 3, on n'a qu'une racine si elle n'est pas l'identité ou une symétrie axiale, non ?
Merci !
pentium-mix
Michel Coste wrote:OK.
Il n'est pas trop difficile de trouver l'axe de la rotation (droite propre de vecteur propre associé 1).
Pour l'angle de rotation [tex]\theta[/tex], on peut commencer par se souvenir de ce qu'est la trace d'une matrice de rotation d'angle [tex]\theta[/tex].
Quand je fait cela je n'utilise l'hypothèse donné nulle part
michel-coste
plem06 wrote:Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc (= 1) non ?
Sais-tu transformer cette quantité (qui est symétrique en [tex]a,b,c[/tex]) en polynôme en les polynômes symétriques élémentaires [tex]a+b+c[/tex], [tex]ab+bc+ca[/tex] et [tex]abc[/tex] ? (et te souvenir que [tex]ab+bc+ca = 0[/tex]).
comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
Une fois que tu as mené au bout le calcul du déterminant comme suggéré ci-dessus, ça tombe tout seul.
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ?
Pourquoi cette fixation sur le polynôme caractéristique ? Il est bien dit dans l'énoncé qu'il s'agit du polynôme de degré 3 dont [tex]a,b,c[/tex] sont les trois racines. Il n'a rien à voir avec le polynôme caractéristique ! Mais tout à voir avec les polynômes symétriques élémentaires de [tex]a,b,c[/tex] (relations coefficients-racines, j'insiste une nouvelle fois).
michel-coste
pentium mix wrote:Quand je fait cela je n'utilise l'hypothèse donné nulle part
Qu'est-ce que ça veut dire ?
plem06
Merci de ta réponse Michel,
- Pour les polynômes symétriques, ça ne me parlait pas, j'ai fait un coup de wikipédia, et j'avais effectivement pas étudié ces polynômes là en école d'Ingé.
- Pour le polynôme -pas- caractéristique, je pense que j'étais biaisé par cours sur les endomorphismes où je n'ai pratiqué que des exercices où la notion de polynôme était systématiquement reliée à celle du polynôme caractéristique. Je comprends mieux le cadre plus ouvert de l'énoncé à présent.
Petite question complémentaire : pour montrer le "ssi" : faut-il décomposer la résolution en une implication et puis démontrer la réciproque, ou bien est-ce qu'on peut avoir des équivalences tout le long du raisonnement (Je ne vois pas où ça coincerait...)
Pierre
michel-coste
L'étude des polynômes symétriques ne fait pas partie du programme du CAPES.
Ici :
[tex]\begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)^3-3(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))-9abc\ &= (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}[/tex]
et on sait déjà que [tex]ab+bc+ca=0[/tex].
michel-coste
La matrice est une matrice de rotation si et seulement si [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex], [tex]ab+bc+ca=0[/tex] et [tex](a+b+c)^3=1[/tex], ce qui équivaut à [tex]a+b+c=1[/tex] et [tex]ab+bc+ca=0[/tex], autrement dit si et seulement si les trois réels [tex]a,b,c[/tex] sont les racines d'une équation de la forme [tex]x^3-x^2+k=0[/tex].
michel-coste
Je recopie mon calcul pour qu'il rentre dans la fenêtre :
[tex]\begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)^3-3(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))\&\qquad{}-9abc\ &= (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}[/tex]
plem06
Un grand merci pour ces dernières explications Michel !
michel-coste
Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).
pentium-mix
Michel Coste wrote:Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).
Bien sur je comprend très bien
Sauf que dans mes recherches je suis tombé sur ceci
Du coup je suis un peu perdu
https://www.cjoint.com/c/MCEn0lIk1nc
pentium-mix
pentium mix wrote:Michel Coste wrote:Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).
Bien sur je comprend très bien
Sauf que dans mes recherches je suis tombé sur ceci
Du coup je suis un peu perdu
https://www.cjoint.com/c/MCEn0lIk1nc
La trace de la matrice d'une rotation est égale a 2cosa + 1 ou a est l'angle de la rotation
De la , j'ai l'angle de ma rotation
De plus le sous espace associé a la valeur propre 1 est l'axe de la rotation
C'est juste que je n'aboutit pas au résultat ci-dessus (pour l'angle seulement) et que nulle part dans mon raisonnement je n'utilise l'hypothèse k=......
Et, ça laisse croire que cette hypothèse ne sert a rien
Merci pour vos interventions.
J'ai beaucoup appris
michel-coste
Puisque [tex]3a[/tex] est la trace de la matrice, [tex]a=\dfrac13(1+2\cos\theta)[/tex], où [tex]\theta[/tex] est l'angle de rotation. On porte cette valeur dans [tex]a^3-a^2+\dfrac4{27} \sin^2\varphi=0[/tex], et on obtient six valeurs possibles pour [tex]\theta[/tex] en fonction de [tex]\varphi[/tex]. C'est normal, vu les permutations sur [tex]a,b,c[/tex].