$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Lien copié  ✅

Volatilité et couverture

Contrairement à ce qui a été annoncé auparavant, la formule de Black and Scholes ne sert pas à calculer le prix d'une option. Tout bêtement, c'est la loi du marché, le jeu de l'offre et de la demande, qui détermine le prix de l'option. Et la formule de Black and Scholes n'est même pas utilisée pour tester si une option est surpayée ou sous-payée. Pourtant, cette formule est présente dans tous les logiciels utilisés par les traders.

Cette formule, et aussi celle qui l'accompagne, la formule dite de couverture. Black and Scholes discutent en effet dans le même article le problème de la valorisation de l'option. Autrement dit, que doit faire le vendeur du montant de la prime pour se constituer et gérer un portefeuille qui lui permette à l'échéance de disposer du montant nécessaire au règlement de l'option?

Ainsi, si le prix d'exercice de l'option est $C$, et que le cours à l'échéance est $C'$, il doit disposer d'une somme valant $C'-C$ au moins à l'échéance (si $C' > C$), ou bien $0$ (si l'option n'est pas levée). Pour cela, Black and Scholes montrent que le vendeur doit disposer d'un portefeuille dont le montant initial est celui de la prime, et qui est constitué de liquidités et d'actions relatives à l'option. La part d'actions dans ce portefeuille à chaque instant t est donnée par la formule :

$$ \delta_t = F(g_1 (C_t)) $$

où

$$ g_1 (x) = \frac{\ln \left(\frac{x}{C} \right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2} \right)}{\sigma \sqrt T} $$ $$ F(x) = \int_{-\infty}^u e^{-v^2/2} \frac{dv}{\sqrt{2\pi}}$$

$r$ et $\sigma$ désignent toujours respectivement le taux d'intérêt mathématique et la volatilité de l'action. $C_t$ est le cours de l'action à l'instant $t$.

Cette seconde formule est l'outil miracle pour le vendeur de l'option : elle lui permet de se constituer le portefeuille qui assure absolument la rentabilité de l'opération. Il reste cependant un problème. Ceci n'est vrai que si la prime payée est donnée par la première formule de Black and Scholes. Or, nous l'avons dit, le prix d'une option est régi par les lois du marché. Alors...

Alors, la première formule de Black and Scholes reprend tout son intérêt. Le paramètre délicat des deux formules est la volatilité $\sigma$ de l'action. Nous avons vu qu'une des façons de la calculer est une analyse statistique sur les cours passés, qui donne accès à la volatilité historique de l'action. Mais ce qui nous intéresse est plutôt la volatilité future de l'action. On peut l'évaluer, en résolvant l'équation en $\sigma$ :

$$ \textrm{Prime}_{\textrm{Black&Scholes}}(\sigma) = \textrm{Prime}_{\textrm{Marché}}$$

On trouve une unique valeur pour la volatilité $\sigma$, qui est la volatilité attendue par le marché pour les mois à venir, celle que la majorité des investisseurs anticipe. On injecte alors ce paramètre dans la seconde formule de Black and Scholes, pour déterminer la composition du portefeuille idéal.