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Bibm@th
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Le prix d'une option

Dès l'ouverture du premier marché aux options à Chicago en 1973, la question du prix de l'option, c'est-à-dire du prix à faire payer à l'acheteur de l'option, s'est posée. Elle a été résolue de façon quasi-concomitante par Fisher Black et Myron Scholes dans un article intitulé True pricing of options and corporate liabilities, à la suite de travaux de Robert Merton. Ils y donnent le juste prix d'une option d'achat d'une action, à l'échéance de $T$ années, et à prix d'exercice $C$. Les hypothèses simplificatrices suivantes sont faites :

  • Il n'y a pas de frais liés à l'achat ou à la vente d'actions (hypothèse bien sûr fausse), et ces transactions se font au comptant.
  • L'action sous-jacente ne distribue aucun dividende durant la durée de vie de l'option (possible).
  • Le taux d'intérêt est invariant au cours du temps (juste si l'option est à courte échéance) et le taux d'intérêt mathématique vaut $r$ : ceci signifie qu'un euro placé durant $t$ années rapporte $e^{rt}$ euros.
  • Le rendement instantané de l'action est aléatoire (un jour elle progresse de $2,3\%$, le lendemain elle recule de $1,7\%$). En revanche, l'écart-type de ce rendement est constant dans le temps. On appelle cette quantité la volatilité de l'action, et on la note $\sigma$. On peut l'évaluer par exemple grâce à une analyse statistique des dernières cotations. Intuitivement, une action "père de famille" aura une volatilité faible, et une action très spéculative une volatilité forte.

Si l'action cote initialement $C_0$ euros, le prix de l'option est alors :

$$ P(\sigma) = C_0 F(g_1(C_0)) - Ce^{-rT} F(g_2(C_0))$$

où

$$ g_1 (x) = \frac{\ln \left(\frac{x}{C} \right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2} \right)}{\sigma \sqrt T} $$ $$ g_2(x) = g_1(x) - \sigma \sqrt T$$ $$ F(x) = \int_{-\infty}^u e^{-v^2/2} \frac{dv}{\sqrt{2\pi}}$$

$F$ représente la fonction de répartition de la loi normale; ses valeurs sont données dans des tables. Il s'agit donc d'une formule assez complexe, mais dont le calcul est très aisé sur ordinateur. Le paramètre essentiel, le seul qui soit difficile à obtenir, est la volatilité $\sigma$. Nous allons y revenir...