Méthodes seconde : intervalles, inégalités, inéquations
Pour passer d'un ensemble de nombres donné par une inégalité ou un encadrement à un intervalle, on peut
- commencer par représenter les réels vérifiant cette inégalité (cet encadrement) sur la droite numérique;
- déterminer les bornes de l'intervalle à l'aide de cette représentation;
- s'intéresser enfin au sens des crochets.
Pour déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles $I$ et $J$, on commence par représenter chacun des deux intervalles $I$ et $J$ sur la même droite numérique, mais avec des couleurs différentes. Ensuite,
- les réels qui appartiennent à $I\cap J$ sont ceux qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ : ce sont ceux qui sont coloriés avec les deux couleurs.
- les réels qui appartiennent à $I\cup J$ sont ceux qui appartiennent au moins à l'un des deux intervalles $I$ ou $J$ : ce sont ceux qui sont coloriés, peu importe la couleur
On suit la même méthode que pour résoudre une équation du premier degré. On commence par isoler l'inconnue d'un côté de l'inéquation. On multiplie ensuite par l'inverse du coefficient devant l'inconnue pour obtenir une inégalité portant uniquement sur l'inconnue. Pour cela, on utilise la règle suivante : on transforme une inéquation en une inéquation équivalente lorsque
- on ajoute ou on soustrait un même nombre à chaque membre
- on multiplie ou on divise chaque membre de l'inéquation par un même nombre non nul, à condition de changer le sens de l'inégalité si ce nombre est négatif
Pour écrire un ensemble de réels vérifiant des inégalités reliés par un connecteur et/ou à l'aide d'intervalles et des symboles $\cup$ et $\cap$, on commence par traduire chaque inégalité par un intervalle. Ensuite, quand une proposition contient le connecteur "ou", on reconnait une réunion. Quand elle contient le connecteur "et", on reconnait une intersection. On peut parfois simplifier l'écriture. Pour cela, on peut utiliser la droite numérique. (voir cet exercice).
Pour résoudre une équation $|x+a|=r$, on commence par l'écrire sous la forme $|x-b|=r$, en écrivant éventuellement $x+a=x-(-a)$. On interprète ensuite l'égalité $|x-b|=r$ en disant que sur la droite graduée la distance du réel $x$ à $b$ est égal à $r$ (voir cet exercice ou ces quizz d'entraînement ).
Pour résoudre une inéquation $|x+a|\leq r$, on commence par l'écrire sous la forme $|x-b|\leq r$, en écrivant éventuellement $x+a=x-(-a)$. On interprète ensuite l'inégalité $|x-b|\leq r$ en disant que sur la droite graduée la distance du réel $x$ à $b$ est inférieure ou égale à $r$, et on en déduit l'intervalle correspondant. Attention au sens des crochets suivant qu'on a une inégalité du type $\leq$ ou une inégalité $<$ (voir cet exercice ou ces quizz d'entraînement ).
Pour résoudre une équation $|x+a|=|x+b|$, on l'interprète comme une égalité de deux distances sur la droite graduée. On en déduit alors l'ensemble des solutions, en s'aidant si nécessaire d'un dessin (voir cet exercice ou ces quizz d'entraînement ).
Pour résoudre une équation $|x+a|\leq |x+b|$, on l'interprète comme une inégalité de deux distances sur la droite graduée. On en déduit alors l'ensemble des solutions, en s'aidant si nécessaire d'un dessin (voir cet exercice ou ces quizz d'entraînement ).
Pour écrire un intervalle $[c;d]$ sous la forme d'une inéquation $|x-a|<r$, on commence par rechercher le centre de l'intervalle pour l'écrire sous la forme $[a-r;a+r]$ (voir cet exercice ou ces quizz d'entraînement ).
Pour déterminer un encadrement à $10^{-n}$ d'un réel $x$, on affiche les $n+1$ premières décimales de ce réel $x$ sur la calculatrice ou un ordinateur. On obtient un encadrement décimal à $10^{-n}$ près en gardant les $n$ premières décimales, puis en ajoutant $1$ à la $n$-ième décimale (voir cet exercice).
Pour arrondir le résultat d'un calcul, on conserve pour le résultat le même nombre de chiffres significatifs que le nombre minimum de chiffres significatifs de chaque donnée. Le nombre de chiffres significatifs correspond au nombre de chiffres qui apparaissent dans l'écriture scientifique du nombre (voir cet exercice).