Oraux de concours : Variables aléatoires finies
Centrale
Exercice 1 - Tirages en changeant la composition de l'urne (d'après Centrale) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient $a>0$ boules vertes et $b>0$ boules rouges. On pose $N=a+b$.
On réalise des tirages successifs en suivant le protocole suivant : si on tire une boule rouge, on la remet dans l'urne. Si on tire une boule verte, on la remplace dans l'urne par une boule rouge. Pour $k\geq 1$ on note $T_k$ la variable aléatoire égale à $1$ si le $k$-ème tirage donne une boule verte et à $0$ si le $k$-ème tirage donne une boule rouge. On note aussi $X_k$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées lors des $k$ premiers tirages.
- Déterminer la loi de $T_1$ et la loi de $T_2$.
- Soit $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$P(T_{n+1}=1)=\frac{a-E(X_n)}{N}.$$ En déduire que $$P(T_n=1)=a\frac{(N-1)^{n-1}}{N^n}.$$
- Calculer $E(X_n)$ puis déterminer sa limite.
Variables aléatoires finies