Oraux de concours : Exercices sur les équations différentielles linéaires

Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. On considère l'équation différentielle notée $(E)$ donnée par $y'=a(x)y+b(x)$. On note aussi, pour $x$ dans $\mathbb R,$ $A(x)=\int_0^x a(t)dt$ et $I=A(1)$.

1. Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $1$-périodique.
2. Soit $y$ une solution de $(E)$. Démontrer que $x\mapsto y(x+1)$ est aussi une solution de $(E)$.
3. Soit $I\neq 0.$ Démontrer que $(E)$ admet une unique solution $1$-périodique.
4. Si $I=0,$ que peut-on dire ?
5. Donner un exemple pour chacune des situations.

Le but de cet exercice est de déterminer les fonctions $f:]0,+\infty[\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^1$ et solution de l'équation différentielle (non linéaire) $(E)$ suivante : $$xf'-|1-f|=1.$$

1. Résoudre l'équation différentielle $xy'-y=0.$
2. Soit $f$ une solution de $(E)$. Démontrer que $f$ est strictement croissante.
3. On suppose que $f$ est minorée par $1$. Déterminer la forme de $f,$ puis obtenir une contradiction.
4. On suppose que $f$ est majorée par $1$. Déterminer la forme de $f,$ puis obtenir une contradiction.
5. En déduire qu'il existe un unique $x_0\in]0,+\infty[$ tel que $f(x_0)=1.$
6. Déterminer toutes les solutions de $(E)$.

On considère les deux équations différentielles suivantes : $$\begin{array}{rcll} 2xy'-3y&=&0&\quad (H)\\ 2xy'-3y&=&\sqrt x&\quad (E) \end{array}$$

1. Résoudre l'équation $(H)$ sur $]0,+\infty[$.
2. Résoudre l'équation $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
3. L'équation $(E)$ admet-elle des solutions sur $[0,+\infty[$ ?