$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : trigonométrie

Résoudre une équation trigonométrique

Pour résoudre une équation trigonométrique, le plus souvent, on se ramène au résultat suivant :

Théorème : Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Alors :
  • $\cos x=\cos y\iff y\equiv x\ [2\pi]$ ou $y\equiv -x\ [2\pi]$;
  • $\sin x=\sin y\iff y\equiv x\ [2\pi]$ ou $y\equiv \pi-x\ [2\pi]$;
  • $\tan x=\tan y\iff y\equiv x\ [\pi]$.

Pour se ramener à ce résultat, on peut utiliser les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques (voir cet exercice), des formules de trigonométrie (voir cet exercice), faire un changement de variables pour résoudre une autre équation (voir cet exercice) ....

Résoudre une équation du type $a\cos(x)+b\sin(x)=c$

Pour résoudre une équation du type $a\cos(x)+b\sin(x)=c$,

  • on commence par factoriser par $\sqrt{a^2+b^2}$ pour transformer l'équation sous la forme suivante : $$\frac{a}{\sqrt {a^2+b^2}}\cos(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x)=c.$$
  • on cherche un réel $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos(\theta)&=&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin(\theta)&=&\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array}\right.$$ L'équation devient donc $$\cos(\theta)\cos(x)+\sin(\theta)\sin(x)=c.$$
  • on utilise une formule de trigonométrie pour transformer cette équation en $$\cos(x-\theta)=c,$$ équation que l'on sait résoudre par ailleurs
(voir cet exercice)
Résoudre une inéquation trigonométrique