Méthodes : séries numériques
Démontrer qu'une série à termes de signe constant converge
Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ converge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut
- trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha>1$ ou $v_n=a^n$ avec $0<a<1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
- trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq u_n\leq v_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).
- démontrer que les sommes partielles sont majorées (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à termes de signe constant diverge
Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ diverge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut
- trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha\leq 1$ ou $v_n=a^n$ avec $a\geq 1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice);
- trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq v_n\leq u_n$;
- démontrer que le terme général ne tend pas vers 0;
Démontrer qu'une série à terme quelconque converge ou diverge
Pour étudier la nature d'une série $\sum_n u_n$ où la suite $(u_n)$ n'est pas forcément de signe constant, on peut
- étudier la convergence absolue (voir cet exercice). Attention, la convergence absolue n'est qu'une condition suffisante de convergence;
- démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 (attention, ceci n'est qu'une condition suffisante de divergence);
- utiliser le critère des séries alternées;
- à l'aide de développements limités, décomposer le terme général $u_n$ sous la forme $u_n=v_n+O(w_n)$, où on sait étudier la nature des séries $\sum_n v_n$, et où on sait que la série $\sum_n w_n$ est absolument convergente. Dans ce cas, la série $\sum_n u_n$ aura le même comportement que la série $\sum_n v_n$ (voir cet exercice).
Encadrer des sommes finies ou infinies, des restes
- Pour encadrer des sommes finies ou infinies du type $\sum_n f(n)$, dans le cas où $f$ est monotone, on peut utiliser un encadrement de $f(n)$ par $\int_n^{n+1}f(t)dt$ et $\int_{n-1}^n f(t)dt$, sommer les intégrales par la relation de Chasles, et calculer l'intégrale correspondante (voir cet exercice ou cet exercice);
- Pour majorer un reste $\sum_{n\geq p}u_n$, lorsque $u_n\geq 0$, on peut trouver une suite $(v_n)$ de sorte que $u_n\leq v_n$ et on sait majorer le reste $\sum_{n\geq p}v_n$ (voir cet exercice);
- Le critère des séries alternées fournit lui aussi une majoration du reste;
Calculer la somme d'une série
Pour calculer la somme d'une série $\sum_n u_n$, on peut
- écrire la suite $(u_n)$ sous une forme "télescopique", $u_n=v_n-v_{n-1}$. Quand on va calculer la somme partielle, les termes différents termes de la suite $(v_n)$ se simplifient (voir cet exercice).
- utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices... (voir cet exercice).
- pour calculer des sommes proches des sommes géométriques $\sum_k x^k$, par exemple $\sum_k kx^k$ ou $\sum_k\frac{1}{k+1}x^k$, on peut se ramener à une somme finie, utiliser la somme de la suite géométrique, et dériver, intégrer, multiplier par $x$… (voir cet exercice).
Étudier une suite à l'aide des séries
Pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$, on peut étudier la convergence de la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ (voir cet exercice).