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Méthodes : Inégalités, valeur absolue, partie entière

Établir le signe d'une quantité ou résoudre une inéquation

Pour établir le signe d'une quantité, ou résoudre une inéquation, on peut factoriser puis utiliser un tableau de signes pour déterminer le signe (voir cet exercice).

Démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$
  Pour démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$, on pose $h(x)=f(x)-g(x)$ et on étudie la fonction $h$ (variations, étude aux bornes, etc…) dans le but de prouver que l'on a toujours $h(x)\leq 0$ (voir cet exercice).
Equations et inéquations avec des valeurs absolues
  • pour résoudre une équation du type $|f(x)|=|g(x)|$, on peut utiliser que $|a|=|b|$ si et seulement si $a=b$ ou $a=-b$ (voir cet exercice).
  • pour résoudre une inéquation du type $|f(x)|\leq |g(x)|$, on commence par étudier le signe de $f$ et de $g$. On résout ensuite l'inéquation sur des intervalles où $f$ et $g$ gardent un signe constant (voir cet exercice).
  • pour résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir des valeurs absolues, on commence par étudier le signe des quantités à l'intérieur des valeurs absolues. On raisonne ensuite par disjonction de cas, en travaillant sur des intervalles où ces signes sont constants et où on peut enlever les valeurs absolues (voir cet exercice).
Inégalités avec des parties entières

Pour démontrer une inégalité faisant intervenir des parties entières, on utilise souvent la caractérisation de la partie entière, qui donne immédiatement un encadrement faisant intervenir la partie entière (voir cet exercice).

Inégalités, valeur absolue, partie entière