$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : groupes, anneaux, corps

Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe

Pour démontrer qu'un ensemble $(G,\star)$ est un groupe, on peut

Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$

Pour démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, on peut :

  • utiliser le théorème de caractérisation des sous-groupes, c'est-à-dire que l'on prouve que
    • $e\in H$.
    • Si $x,y\in H$, alors $xy\in H$.
    • Si $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.
    (voir cet exercice).
  • démontrer que $H$ est l'image directe ou l'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes; en particulier, ceci s'applique si $H$ est le noyau d'un morphisme de groupes.
Démontrer que $H$ n'est pas un sous-groupe de $G$.

Pour démontrer qu'une partie $H$ de $G$ n'est pas un sous-groupe de $G$, on cherche un contre-exemple à une des trois propriétés qui caractérise les sous-groupes, c'est-à-dire que :

  • ou bien on montre que $e\notin H$;
  • ou bien on trouve $x,y\in H$ tel que $xy\notin H;$
  • ou bien on trouve $x\in H$ tel que $x^{-1}\notin H$;
(voir cet exercice).
Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau

Pour démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau, ou bien on vérifie toutes les propriétés de la définition, ou bien on démontre que c'est un sous-anneau d'un anneau fixé. Dans ce dernier cas, on utilise le théorème de caractérisation des sous-anneaux (voir cet exercice).

Déterminer les éléments inversibles d'un anneau

Pour déterminer les éléments inversibles d'un anneau, on fait souvent un raisonnement par analyse/synthèse. On fixe un élément $a\in A$ et on suppose qu'il est inversible. En utilisant qu'il existe $b\in A$ tel que $ab=1_A,$ on essaie de trouver des conditions nécessaires sur $A$. On trouve alors des éléments dont il faut vérifier qu'ils sont bien inversibles (voir cet exercice).

Parfois, on introduit une quantité numérique associée aux éléments de l'anneau, et on utilise cette quantité pour donner des conditions nécessaires vérifiées par les éléments inversibles (voir cet exercice).

Démontrer que $(K,+,\times)$ est un corps

Pour démontrer que $(K,+,\times)$ est un corps, on commence souvent par démontrer que c'est un sous-anneau d'un corps $K'$ bien connu, puis on démontrer que si $z\in K$ est non nul, alors son inverse $1/z$ (calculé dans le "gros" corps $K'$) est encore élément de $K$ (voir cet exercice).