Méthodes : développements limités
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $I$ et $J$, de sorte que $f(I)\subset J$. On suppose que $f$ admet en $a$ le développement limité suivant : $$f(a+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$ On suppose que $g$ admet en $f(a)=b$ le développement limité suivant : $$g(f(a)+k)=b_0+b_1 k+b_2 k^2+\dots+b_n k^n+o(k^n).$$ Alors le développement limité de $g\circ f$ en $a$ s'obtient en posant $$k=a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n),$$ en calculant les puissances $k^2$, $k^3$,…, mais en tronquant à l'ordre $n$, et en remplaçant ces puissances par leur nouvelle expression dans le développement limité de $g$ (voir cet exercice).
Si $g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$, de la forme $$g(a+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n),$$ alors on obtient le développement limité de $\frac 1g$ en $a$ en commençant par factoriser par $a_0$ : $$\frac 1{g(a+h)}=\frac1{a_0}\times\frac 1{1+\frac{a_1}{a_0}h+\dots+\frac{a_n}{a_0}h^n+o(h^n)}$$ puis on compose avec le développement limité de $\frac 1{1+x}$ comme indiqué ci-dessus.
Pour obtenir le développement limité d'un quotient $f/g$, on multiplie le développement limité de $f$ par le développement limité de l'inverse $1/g$ calculé ci-dessus.
(Voir cet exercice).Pour calculer le développement limité d'une fonction réciproque $f^{-1}$ au voisinage de $f(a)$ :
- on calcule le développement limité de $f$ en $a$.
- on écrit de façon formelle le développement limité de $f^{-1}$ en $f(a)$ : $$f^{-1}(f(a)+h)=a+a_1 h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
- on écrit que $f\circ f^{-1}(x)=x$. On calcule (formellement) le développement limité de $f\circ f^{-1}(x)$ en composant des développements limités. Puis on utilise l'unicité des développements limités et l'écriture $f\circ f^{-1}(x)=x$ pour identifier les coefficients.
(Voir cet exercice, ou celui-là, ou celui-là).
Pour trouver la tangente en $(a,f(a))$ à la courbe représentative $y=f(x)$, on calcule le développement limité à l'ordre $1$ de $f$ en $a$ : $$f(a+h)=a_0+a_1h+o(h).$$ Alors la droite $y=a_0+a_1x$ est la tangente à la courbe en $(a,f(a))$.
Pour étudier (localement) la position de la courbe par rapport à la tangente, on calcule le développement limité à un ordre supérieur, jusqu'à avoir un terme non-nul : $$f(a+h)=a_0+a_1 h+a_ph^p+o(h^p),\ a_p\neq 0.$$
- Si $p$ est pair, la courbe reste (localement) toujours du même côté de la tangente, elle est au-dessus de la tangente si $a_p>0$, en dessous de la tangente si $a_p<0$.
- Si $p$ est impair, la tangente traverse la courbe au point $(a,f(a))$.
(Voir cet exercice, ou celui-là).