Math Sup : inégalités
Majorer, minorer
Enoncé
Encadrer $x+y$, $x-y$, $xy$ et $x/y$ sachant que $x\in [3,6]$ et $y\in [-4,-2]$.
Enoncé
Déterminer les nombres réels $y$ solution des inéquations suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ (y+1)(y-1)>(y+1)^2&\quad&\mathbf{2.}\ \lambda y+7\geq 3y-5\lambda,\ \lambda\in\mathbb R\textrm{ donné.}
\end{array}$$
Exercice 3 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$.
Enoncé
Résoudre les inéquations suivantes (on précisera le domaine de définition) :
$$\begin{array}{rcl}
\mathbf{1.}\ (2x-7)\ln(x+1)>0&\quad\quad&\mathbf{2.}\ \ln\left(\frac{x+1}{3x-5}\right)\leq 0\\
\mathbf{3.}\ (\ln(x)+1)(\ln(x)-2)>0
\end{array}$$
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, on a
$$x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x.$$
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a
$$(n+1)!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$
Valeur absolue
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que
$$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$
$$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Exercice 8 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\
\mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\
\end{array}
$$
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ ou $\mathbb R^*$ les inégalités suivantes :
$$\mathbf 1.\ |x+1|+|x-3|\leq 6\quad\quad\mathbf 2. \left|\frac 1x-2\right|\leq 3.$$
Exercice 10 - Équations et inéquations avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+12|=|x^2-8|&\quad&\mathbf{2.}\ |x+12|\leq |x^2-8|.
\end{array}$$
Exercice 11 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\
\displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.
\end{array}$$
Exercice 12 - Inégalité avec un maximum et des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ deux réels non nuls. Démontrer que
$$\max(|x|,|y|)\left| \frac x{|x|}-\frac y{|y|}\right|\leq 2|x-y|.$$
Partie entière
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor +1$.
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier.
- Démontrer que $2n\leq 2\sqrt{n(n+1)}<2n+1$.
- En déduire la valeur de $\left\lfloor \left(\sqrt n+\sqrt{n+1}\right)^2\right\rfloor$.
Exercice 15 - Une somme avec des parties entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor$ et $v_n=u_n/n^2$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{n(n+1)}2x -n\leq u_n\leq \frac{n(n+1)}2x.$$
- En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que
$$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que
$$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Enoncé
Soit $x,y$ des réels. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor +\lfloor 2y\rfloor.$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair.
En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R_+$, comparer $\lfloor \sqrt x\rfloor$ et $\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor$.
Inégalités, valeur absolue, partie entière