$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math Sup : inégalités

Majorer, minorer
Enoncé
Encadrer $x+y$, $x-y$, $xy$ et $x/y$ sachant que $x\in [3,6]$ et $y\in [-4,-2]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les nombres réels $y$ solution des inéquations suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (y+1)(y-1)>(y+1)^2&\quad&\mathbf{2.}\ \lambda y+7\geq 3y-5\lambda,\ \lambda\in\mathbb R\textrm{ donné.} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Inéquations avec des logarithmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les inéquations suivantes (on précisera le domaine de définition) : $$\begin{array}{rcl} \mathbf{1.}\ (2x-7)\ln(x+1)>0&\quad\quad&\mathbf{2.}\ \ln\left(\frac{x+1}{3x-5}\right)\leq 0\\ \mathbf{3.}\ (\ln(x)+1)(\ln(x)-2)>0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, on a $$x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$(n+1)!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$
Indication
Corrigé
Valeur absolue
Exercice 7 - Maximum et valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que $$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$ $$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\ \mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ ou $\mathbb R^*$ les inégalités suivantes : $$\mathbf 1.\ |x+1|+|x-3|\leq 6\quad\quad\mathbf 2. \left|\frac 1x-2\right|\leq 3.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Équations et inéquations avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ |x+12|=|x^2-8|&\quad&\mathbf{2.}\ |x+12|\leq |x^2-8|. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Inégalité avec un maximum et des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ deux réels non nuls. Démontrer que $$\max(|x|,|y|)\left| \frac x{|x|}-\frac y{|y|}\right|\leq 2|x-y|.$$
Indication
Corrigé
Partie entière
Exercice 13 - Partie entière du successeur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor +1$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Un calcul de partie entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier.
  1. Démontrer que $2n\leq 2\sqrt{n(n+1)}<2n+1$.
  2. En déduire la valeur de $\left\lfloor \left(\sqrt n+\sqrt{n+1}\right)^2\right\rfloor$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Une somme avec des parties entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor$ et $v_n=u_n/n^2$.
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{n(n+1)}2x -n\leq u_n\leq \frac{n(n+1)}2x.$$
  2. En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que $$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ des réels. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor +\lfloor 2y\rfloor.$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Partie entière et racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R_+$, comparer $\lfloor \sqrt x\rfloor$ et $\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor$.
Indication
Corrigé
Inégalités, valeur absolue, partie entière