Math Sup : Dérivabilité
Dérivée en un point - Nombre dérivée
Exercice 1 - Calculs de limites en utilisant le nombre dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer les limites suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
{\mathbf 1.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x+2}-e^2}{x}&\quad&
{\mathbf 2.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}\\
{\mathbf 3.}\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\ln(2-x)}{x-1}&\quad&
{\mathbf 4.}\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}2}\frac{\exp(\cos x)-1}{x-\frac\pi2}.
\end{array}
$$
Enoncé
Les fonctions suivantes sont-elles dérivables au point indiqué?
$$f(x)=\frac{x}{1+|x|} \textrm{ en }0,\ \ \ g(x)=
\left\{\begin{array}{ll}
(x-1)&\textrm{ si }x\leq 1\\
(x-1)^2&\textrm{ si }x>1
\end{array}\right.\textrm{ en }1,\quad\quad h(x)=|x|\sin x\textrm{ en }0.$$
Enoncé
Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et $C^1$ sur $\mathbb R$ :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0
\end{array}\right.\quad\quad\quad
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0.
\end{array}\right.
$$
Enoncé
Soit $f$ une fonction dérivable en un point $x_0$. Montrer que
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0).$$
Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que $f$ est dérivable en $x_0$?
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$ avec $f'$ continue en $0$ et en $1$. On définit $g$ sur $[0,1]$ par
$$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(2x)&\textrm{ si }0\leq x\leq\frac12\\
f(2x-1)&\textrm{ si }\frac12<x\leq 1.
\end{array}\right.$$
$g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction dérivable.
- Soit $x\in\mathbb R$ tel que $f(x)\neq 0$. Démontrer que $|f|$ est dérivable en $x$.
- Soit $x\in\mathbb R$ tel que $f(x)=0$.
- Démontrer que si $f'(x)=0$, alors $|f|$ est dérivable en $x$.
- Démontrer que si $f'(x)\neq 0$, alors $|f|$ n'est pas dérivable en $x$.
- Énoncer le théorème démontré.
Exercice 8 - Dérivabilité dans le même sens et zéro [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ dérivable. On suppose que $f(a)=f(b)=0$ et que $f'(a)>0$, $f'(b)>0$. Démontrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=0$.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f(0)=0$. Montrer que
$\sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)$ admet une limite lorsque $n\to+\infty$ et la déterminer.
Théorème de Rolle
Enoncé
Soit $n\geq 2$ un entier et $p,q\in\mathbb R$. On note $P(X)=X^n+pX+q$.
- Démontrer que $P$ admet au plus 3 racines réelles.
- On suppose que $n$ est pair. Démontrer que $P$ admet au plus deux racines réelles.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ $n$ fois dérivable.
- On suppose que $f$ s'annule en $(n+1)$ points distincts de $[a,b]$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
- On suppose que $f(a)=f'(a)=\dots=f^{(n-1)}(a)=f(b)=0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ de degré supérieur ou égal à $2$.
- On suppose que $P$ est scindé sur $\mathbb R$, à racines simples. Démontrer que $P'$ est aussi scindé sur $\mathbb R$ à racines simples.
- Reprendre la question, mais sans la précision "à racines simples".
Exercice 13 - Nombre de solutions d'une équation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]0,+\infty[$ et telle que $f(0)=\lim_{+\infty}f=0$.
On souhaite démontrer qu'il existe $d\in]0,+\infty[$ tel que $f'(d)=0$. Le résultat étant trivial si $f$ est identiquement nulle, on suppose que ce n'est pas le cas et qu'il existe $c\in]0,+\infty[$ tel que $f(c)>0$.
- Démontrer qu'il existe $a\in]0,c[$ et $b\in]c,+\infty[$ tel que $f(a)=f(b)$.
- Conclure.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^n$. On suppose qu'il existe $a\leq x_1<x_2<\dots<x_n\leq b$
tels que $f(x_i)=0$ pour tout $i=1,\dots,n$.
- Soit $x\in[a,b]$ différent des $x_i$. Déterminer un réel $A$ pour lequel la fonction $\varphi:t\in[a,b]\mapsto f(t)-A(t-x_1)\cdots(t-x_n)$ s'annule en $x$.
- En déduire qu'il existe $\lambda\in[a,b]$ tel que $$f(x)=(x-x_1)\dots(x-x_n)\frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!}.$$
- En déduire que $$|f(x)|\leq \frac{\|f^{(n)}\|_\infty}{n!}\prod_{i=1}^n |x-x_i|.$$
Exercice 16 - Tangente passant par un point donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]a,b[$,
et vérifiant $f(a)=f(b)=0$. Soit $d\in\mathbb R\backslash [a,b]$. Montrer qu'il existe une tangente à la courbe représentative
de $f$ passant par le point $(d,0)$.
Exercice 17 - Zéros des dérivées des fonctions $C^\infty$ bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et bornée.
- Montrer que si une dérivée $f^{(k)}$ admet un nombre fini de zéros, alors les dérivées précédentes $f^{(p)}$, $1\leq p<k$ tendent vers 0 en $\pm \infty$.
- En déduire que, pour $k\geq 2$, $f^{(k)}$ s'annule au moins $k-1$ fois.
Théorème et inégalité des accroissements finis
Exercice 18 - Accroissements finis et inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer les inégalités suivantes :
- $\forall x,y\in\mathbb R,\ |\arctan(x)-\arctan(y)|\leq |x-y|$.
- $\forall x\geq 0$, $x\leq e^x-1\leq xe^x$.
Enoncé
Majorer l'erreur commise dans les approximations suivantes :
$$\mathbf a.\sqrt{10001}\simeq 100;\ \mathbf b. \frac{1}{0,999^2}\simeq 1;\ \mathbf c.\cos 1\simeq\frac12.$$
Enoncé
- Démontrer que pour tout $x>0$, on a $$\frac1{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac 1x.$$
- On pose pour tout $n\in\mathbb N^*$ $$v_n=\frac 1{n+1}+\dots+\frac 1{2n}.$$ Démontrer que $$\ln(2n+1)-\ln(n+1)<v_n<\ln(2n)-\ln n.$$ En déduire que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$.
On suppose que $f(0)=0$ et que $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$.
Montrer qu'il existe $m>0$ tel que $f(x)\geq mx$ pour tout $x\in [0,1]$.
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$. L'objectif de l'exercice est de démontrer qu'il existe $c\in ]0,1[$ tel que
$$f'(c)=\frac{f(c)}{c}.$$
- Soit $c\in ]0,1]$ et soit $M$ le point de coordonnées $(c,f(c))$. Rappeler une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $M$ ainsi qu'une équation de la corde reliant $(0,f(0))$ à $M$. Donner une interprétation géométrique du résultat que l'on veut démontrer, et illustrer le sur un dessin.
- On définit $g:[0,1]\to \mathbb R$ par $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ si $x\neq 0$ et par $g(0)=0$. Vérifier que $g$ est continue sur $[0,1]$ et $\mathcal C^1$ sur $]0,1]$.
- Calculer $g'(x)$ pour $x\in ]0,1]$.
- Démontrer le résultat dans le cas $f(1)=0$.
- Dans cette question, on suppose que $f(1)>0$.
- Calculer $g(0)$, $g(1)$ et $g'(1)$.
- En déduire que $g'$ s'annule sur $]0,1[$ et conclure.
- Comment procéder si $f(1)<0$?
Exercice 23 - Fonction bornée dont la dérivée admet une limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction bornée et dérivable telle que $\lim_{+\infty}f'=l$.
Montrer que $l=0$.
Exercice 24 - Limite de la dérivée et limite de $f(x)/x$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction dérivable et $\ell\in\mathbb R$ tel que $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\ell$. L'objectif de cet exercice est de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=\ell$.
- On suppose dans cette question que $\ell=0$. Soit $\veps>0$.
- Montrer qu'il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a $$\left|\frac{f(x)}{x}\right|\leq \left|\frac{f(A)}{x}\right|+\veps.$$
- En déduire le résultat dans ce cas.
- Démontrer le résultat dans le cas général.
- Réciproquement, est-il vrai que pour toute fonction dérivable $f:]0,+\infty[\to \mathbb R$ telle que $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=\ell$, alors on a $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\ell$?
Exercice 25 - Théorème des accroissements finis généralisés et règle de l'Hospital [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$.
On suppose que $g'(x)\neq 0$ pour tout $x\in ]a,b[$.
- Démontrer que, pour tout $x\in [a,b[$, $g(x)\neq g(b)$.
- On fixe $t\in[a,b[$, on pose $p=\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}$ et on considère la fonction $h$ définie sur $[a,b]$ par $h(x)=f(x)-p g(x)$. Vérifier que $h(b)=h(t)$ et en déduire qu'il existe un nombre réel $c(t)\in ]t,b[$ tel que $$\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}=\frac{f'(c(t))}{g'(c(t))}.$$
- On suppose qu'il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{x\to b^-}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$. Démontrer que $$\lim_{t\to b^-}\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}=\ell.$$
- Application : déterminer $\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos(x)-e^x}{(x+1)e^x-1}$.
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ vérifiant $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe $0<x_1<\dots<x_n<1$ vérifiant $f'(x_1)+\dots+f'(x_n)=n$.
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
- Pourquoi n'est-ce pas trivial?
- Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
- En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
- Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
- En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
- Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ si $x\in ]0,1]$ et par $f(0)=0.$ Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Dérivées successives
Exercice 28 - Dérivée $n$-ème, sans la formule de Leibniz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, déterminer la dérivée $n$-ème des fonctions suivantes :
$$x\mapsto a^x\ (a>0),\quad\quad x\mapsto \frac 1x.$$
Exercice 29 - Premiers calculs avec la formule de Leibniz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1. x\mapsto x\exp(x)&\quad\quad&\mathbf 2. x\mapsto (x^3+2x-7)e^x
\end{array}
$$
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $1\leq k\leq n$.
- Calculer la dérivée $k$-ème de $x\mapsto x^{n-1}$ et $x\mapsto \ln(1+x)$.
- En déduire la dérivée $n$-ième de la fonction suivante : $x\mapsto x^{n-1}\ln(1+x).$
Enoncé
On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$,
$$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
- Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
- Plus précisément, montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{ si }x\leq 0\\
e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0.
\end{array}
\right.$$
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Enoncé
Soit $a+ib$ une racine $n-$ième de l'unité, et $f(x)=e^{ax}\cos(bx)$. Donner une formule simple pour $f^{(n)}$.
Applications à l'étude de suite - théorème du point fixe
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définies par
$$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2),\ f(x)=\frac{x}{e^x-1}\textrm{ si }x\neq 0\textrm{ et }f(0)=1.$$
- Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R_+$. Que vaut $f'(0)$?
- Vérifier que $f''(x)=\frac{e^x g(x)}{(e^x-1)^3}$ pour tout $x>0$. En déduire que $|f'(x)|\leq 1/2$ sur $\mathbb R_+$.
- On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$|u_{n}-\ln 2|\leq \left(\frac12\right)^n \ln 2.$$
Exercice 35 - Suite récurrente convergeant vers $e$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $f$ la fonction définie sur $[1,e]$ par $f(x)=\frac{2x}{\ln (x)+1}$ et $g$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $g(y)=\frac{2y}{(1+y)^2}$.
- Démontrer que, pour tout $y\in [0,1]$, $0\leq g(y)\leq \frac{1}2$.
- Étudier $f$ et démontrer que l'intervalle $[1,e]$ est stable par $f$.
- Démontrer que, pour tous $x,y\in [1,e]$, $|f(x)-f(y)|\leq \frac 12|x-y|$ (on pourra utiliser le résultat de la première question).
- On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $|u_n-e|\leq\frac{e-1}{2^n}$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
- Déterminer un rang $n$ pour lequel $u_n$ est une approximation de $e$ à $10^{-3}$ près.
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$,
où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
- Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
- Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
- Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
- Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Enoncé
Soit $f:[a;b]\to\mathbb [a,b]$ une application dérivable. On suppose qu'il existe $k\in ]0,1[$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, on a $|f'(x)|\leq k$. On dit que $\gamma\in [a,b]$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma$.
- Démontrer que $f$ admet un point fixe.
- Démontrer que ce point fixe est unique. On le note $\gamma$.
- Soit $(u_n)$ une suite récurrente définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Exercice 38 - Vitesse de convergence des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels convergente vers $\ell$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\neq \ell$.
On associe la suite $(v_n)$ définie par, pour $n\in\mathbb N$,
$$v_{n}=\left|\frac{u_{n+1}-\ell}{u_n-\ell}\right|.$$
On suppose que la suite $(v_n)$ converge vers $a$.
- Démontrer que $a\in [0,1]$.
On dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)$ est- lente si $a=1$;
- géométrique si $a\in ]0,1[$;
- rapide si $a=0$.
- Donner un exemple (simple!) de suite avec convergence lente; avec convergence géométrique; avec convergence rapide.
- On suppose dans cette question que la suite $(u_n)$ est donnée par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^1$. On suppose que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Déterminer, suivant la valeur de $f'(\ell)$, la vitesse de convergence de la suite $(u_n)$.