Résumé de cours : Calcul de primitives et techniques fondamentales de calcul intégral
Soit $I$ un intervalle et $f:I\to \mathbb C$. On dit que $F:I\to\mathbb C$ est une primitive de $f$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si pour tout $x\in I$, $F'(x)=f(x)$.
Si $f$ admet une primitive $F$ sur l'intervalle $I$, alors la fonction $x\mapsto F(x)+C$ où $C\in\mathbb C$ est une primitive de $f$ sur $I$. Réciproquement, deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante.
En particulier, toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.
Notation : On notera $\int^x f(t)dt$ une primitive "générique" de $f$, c'est-à-dire n'importe quelle primitive de $f$. Sur un intervalle où $f$ est continue, $\int^x f(t)dt$ est définie à une constante près.
Une fonction $u:I\to\mathbb C$ est dite de classe $\mathcal C^1$ si $u$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $u'$ est continue.
Fonction | Primitive | Intervalle |
$$x^{\alpha},\ \alpha\neq {-1}$$ | $$\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}$$ | $]0,+\infty[$ sauf si $\alpha$ est entier $\mathbb R$ si $\alpha\in\mathbb N$ $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$ si $\alpha$ est un entier négatif. |
$$\frac 1x$$ | $$\ln |x|$$ | $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$ |
$$\frac 1{x-a},\ a\neq 0$$ | $$\ln |x-a|$$ | $]a,+\infty[$ ou $]-\infty,a[$ |
$$e^{\lambda x},\ \lambda\in\mathbb C\backslash\{0\}$$ | $$\frac{1}{\lambda}e^{\lambda x}$$ | $\mathbb R$ |
$$\ln x$$ | $$x\ln x-x$$ | $]0,+\infty[$ |
$$\sin x$$ | $$-\cos x$$ | $\mathbb R$ |
$$\cos x$$ | $$\sin x$$ | $\mathbb R$ |
$$\tan x$$ | $$-\ln|\cos x|$$ | $\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[,\ k\in\mathbb Z$ |
$$\sh x$$ | $$\ch x$$ | $\mathbb R$ |
$$\ch x$$ | $$\sh x$$ | $\mathbb R$ |
$$\th x$$ | $$\ln|\ch x|$$ | $\mathbb R$ |
$$\frac1{1+x^2} $$ | $$\arctan x$$ | $\mathbb R$ |
$$\frac1{a^2+x^2},\ a\neq 0$$ | $$\frac 1a\arctan\left(\frac xa\right)$$ | $\mathbb R$ |
$$\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$ | $$\arcsin x$$ | $]-1,1[$ |