$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Calcul matriciel

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $m,n,p$ sont des entiers strictement positifs.
Les matrices

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb K$ est un tableau à double entrée $$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,p}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,p} \end{array} \right)$$ aussi noté $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$ où les éléments $a_{i,j}$ appartiennent à $\mathbb K$.

On note $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes. Si $n=p$, on dit que la matrice est carrée et on note simplement $\mathcal M_n(\mathbb K)$. La matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ ayant tous ses coefficients nuls, sauf ceux sur la diagonale principale qui valent $1$, s'appelle la matrice identité et est notée $I_n$. Les matrices élémentaires de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont les matrices $E_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq j\leq p$, dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient à la $i$-ème ligne et à la $j$-ème colonne qui vaut $1$.

On définit la somme de deux matrices en ajoutant les coefficients termes à termes, et le produit d'une matrice par un scalaire $\lambda\in\mathbb K$ en multipliant chaque coefficient de la matrice par $\lambda$.

Si $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, on appelle transposée de $A$ la matrice $A^T=(b_{i,j})\in\mathcal M_{p,n}(\mathbb K)$ définie par $$b_{i,j}=a_{j,i}.$$ On a les formules : $$(A+B)^T=A^T+B^T\textrm{ et }(\lambda A)^T=\lambda A^T.$$

On dit qu'une matrice carré $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est symétrique si $A^T=A$. On dit qu'elle est antisymétrique si $A^T=-A$. On note $\mathcal S_n(\mathbb K)$ l'ensemble des matrices symétriques de taille $n$, et $\mathcal A_n(\mathbb K)$ l'ensemble des matrices antisymétriques de taille $n$.

Produit de deux matrices

Si $A=(a_{i,j})\in \mathcal M_{m,n}(\mathbb K)$ et si $B=(b_{j,k})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, on appelle produit de $A$ et $B$ la matrice notée $AB=(c_{i,j})$ de $\mathcal M_{m,p}(\mathbb K)$ définie par $$c_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}$$ pour tout $i\in\{1,\dots,m\}$ et tout $j\in \{1,\dots,p\}$.

Remarquons que pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. De plus, même si $AB$ et $BA$ sont tous les deux définis, on n'a pas toujours $AB=BA$. En revanche, on a $AI_n=A$ et $I_nB=B$. De plus, si $E_{i,j}$ est une matrice élémentaire de $\mathcal M_{m,n}(\mathbb K)$ et si $E_{k,l}$ est une matrice élémentaire de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, alors on a $$E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$$ où $\delta_{j,k}$ désigne le symbole de Kronecker : $\delta_{j,k}=1$ si $j=k$, $\delta_{j,k}=0$ sinon.

Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est diagonale si $a_{i,j}=0$ dès que $i\neq j$. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est triangulaire supérieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i>j$. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est triangulaire inférieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i< j$. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.

Formule du binôme : Si $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont telles que $AB=BA$, alors $$(A+B)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk A^k B^{n-k}.$$

Produit par blocs : Soient $M,M'$ deux matrices s'écrivant $$M=\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array}\right),\quad \quad M'=\left(\begin{array}{cc} A'&B'\\ C'&D' \end{array}\right).$$ Alors, sous réserve de compatibilité des dimensions : $$MM'=\left(\begin{array}{cc} AA'+BC'&AB'+BD'\\ CA'+DC'&CB'+DD' \end{array}\right).$$

Matrice inversible

Une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est dite inversible s'il existe $M'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telle que $$MM'=M'M=I_n.$$ $M'$ s'appelle l'inverse de $M$ et est noté $M^{-1}$. L'ensemble des matrices inversibles de taille $n$ s'appelle le groupe linéaire d'ordre $n$ et est noté $GL_n(\mathbb K)$.

Proposition : Soit $A,B\in GL_n(\mathbb K)$.
  • $AB\in GL_n(\mathbb K)$ et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
  • $A^T\in GL_n(\mathbb K)$ et $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$.
Proposition : Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ triangulaire. Alors $A$ est inversible si et seulement si tous les éléments sur sa diagonale sont non nuls. Dans ce cas, $A^{-1}$ est aussi une matrice triangulaire.
Opérations sur les lignes et les colonnes d'une matrice

On appelle opération élémentaire sur les lignes d'une matrice l'une des trois opérations suivantes :

  • permuter deux lignes $L_i$ et $L_j$;
  • multiplier une ligne $L_i$ par un scalaire $\lambda$ non nul;
  • ajouter un multiple d'une ligne $L_j$ à une autre ligne $L_i$.

On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes.

Les opérations élémentaires sur les lignes correspondent à la multiplication à gauche par une matrice inversible. Les opérations élémentaires sur les colonnes correspondent à la multiplication à droite par une matrice inversible.

Théorème : Soit $A\in\mathcal GL_n(\mathbb K)$. Il existe une suite d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ transformant $A$ en $I_n$. Les mêmes opérations élémentaires effectuées sur les lignes de $I_n$ transforment $I_n$ en $A^{-1}$.
Systèmes linéaires et matrices

On considère un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues $$\left\{ \begin{array}{ccl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,p}x_p&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,p}x_p&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,p}x_p&=&b_n.\\ \end{array} \right. $$ La matrice du système est la matrice $$A=\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,p} \end{pmatrix}.$$ La matrice inconnue est la matrice $$X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\x_p\end{pmatrix}$$ et la matrice du second membre est la matrice $$B=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\b_n\end{pmatrix}.$$ Résoudre le système précédent, c'est trouver toutes les matrices $X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb K)$ telles que $AX=B$. Cette dernière équation s'appelle l'écriture matricielle du système.

Un système est dit compatible s'il admet au moins une solution.

Proposition : Le système $AX=B$ est compatible si et seulement si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$.
Structure de l'ensemble des solutions : notons $\mathcal S$ l'ensemble des solutions du système $AX=B$ et $\mathcal S_H$ l'ensemble des solutions du système homogène associé $AX=0$. Alors :
  • ou bien le système n'admet pas de solution.
  • ou bien le système admet au moins une solution $X_0$. Alors $\mathcal S=\{X_0+Y: Y\in\mathcal S_H\}$.
Cas des matrices inversibles : Si $A$ est inversible, le système $AX=B$ admet une unique solution donnée par $A^{-1}B$.