Résumé de cours : Fractions rationnelles

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Corps des fractions, opérations, degré

Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.

On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$ Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.

Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg(P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.

Fraction irréductible, zéros, pôles

Soit $F\in\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle. Alors $F$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.

Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.

Soit $F\in\mathbb K(X)$ s'écrivant sous forme irréductible $P/Q$. Notons $\mathcal P$ les pôles de $F$. Alors on associe à $F$ une fonction définie sur $\mathbb K\backslash \mathcal P$ par $x\mapsto P(x)/Q(x).$ Cette fonction s'appelle fonction rationnelle associée à $F.$

Décomposition en éléments simples

Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $P$ par $Q$.

Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$

Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-x_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-x_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$

Proposition : Si $P$ se factorise en $P(X)=\lambda \prod_{i=1}^p (X-\alpha_i)^{m_i},$ alors la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}P$ est $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^p \frac{m_i}{X-\alpha_i}.$$

Pratique de la décomposition en éléments simples

Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,

on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
on calcule la partie entière de la fraction rationnelle en calculant le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$;
on factorise le polynôme $Q$ en produit de polynômes irréductibles;
on écrit a priori la décomposition en éléments simples;
pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le coefficient devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient en multipliant $\displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)}$ par $(X-a)^m$ et en évaluant en $X=a$;
en particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
pour déterminer les autres coefficients, on peut évaluer en un point, multiplier par $X$ et regarder la limite en $+\infty,$ mettre au même dénominateur et identifier...
si on réalise la décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ et qu'il y a un polynôme de degré $2$ dans la factorisation de $Q$ en produits d'irréductibles, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ puis regrouper les parties polaires correspondant aux pôles conjugués.

Fractions rationnelles

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