Résumé de cours : familles sommables
La famille de réels positifs $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si l'ensemble des sommes $\sum_{i\in F}u_i$, où $F$ décrit l'ensemble des parties finies de $I$, est majoré. Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble s'appelle la somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$. Si la famille n'est pas sommable, on convient que sa somme vaut $+\infty$. Dans tous les cas, on note la somme $\sum_{i\in I}u_i$.
- la famille $(u_i)$ est sommable;
- pour tout entier $n\in\mathbb N$, la famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable et la série $\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right)$ converge.
La famille de nombres complexes $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si la famille de réels positifs $(|u_i|)$ l'est. On note $\ell^1(I)$ l'ensemble des familles de nombres complexes $(u_i)_{i\in I}$ qui sont sommables.
Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de nombres réels. On note, pour tout $i\in I$, $$u_i^+=\max(u_i,0)\textrm{ et }u_i^-=\max(-u_i,0).$$ Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si $(u_i^+)_{i\in I}$ et $(u_i^-)_{i\in I}$ sont sommables. Dans ce cas, on appelle somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ le réel $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{i\in I}u_i^+-\sum_{i\in I}u_i^-.$$
Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes. Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si les deux suites de nombres réels $(\Re e(u_i))_{i\in I}$ et $(\Im m(u_i))_{i\in I}$ sont sommables. Dans ce cas, on appelle somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ le nombre complexe $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{i\in I}\Re e(u_i)+\text{i}\sum_{i\in I}\Im m(u_i).$$ En particulier, si $(u_i)_{i\in I}$ est sommable et si $\varepsilon>0$, il existe une partie finie $F$ de $I$ telle que $$\left|\sum_{i\in I}u_i-\sum_{i\in F}u_i\right|\leq\varepsilon.$$
Propriétés : soit $(u_i)_{i\in I}$ et $(v_i)_{i\in I}$ deux familles sommables de nombres complexes. Alors
- linéarité : pour tout $\lambda\in\mathbb C$, $(\lambda u_i+v_i)_{i\in I}$ est sommable, et $$\sum_{i\in I}\big(\lambda u_i+v_i\big)=\lambda\sum_{i\in I}u_i+\sum_{i\in I}v_i.$$
- positivité : si $u_i\geq 0$, alors $\sum_i u_i\geq 0$ avec égalité si et seulement si, pour chaque $i\in I$, $u_i=0$.
- inégalité triangulaire : $$\left|\sum_{i\in I}u_i\right|\leq \sum_{i\in I}|u_i|.$$
- famille produit (théorème de Fubini) : la famille $(u_iv_j)_{(i,j)\in I\times I}$ est sommable et on a $$\sum_{(i,j)\in I\times J}u_iv_j=\left(\sum_{i\in I}u_i\right)\times\left(\sum_{j\in J}v_j\right).$$
- la famille $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb N^2}$ est sommable;
- pour tout entier $n$, la série $\sum_m |u_{m,n}|$ converge, et la série $\sum_n \left(\sum_{m=0}^{+\infty}|u_{m,n}|\right)$ est convergente.
Soit $\sum_n a_n$ et $\sum_n b_n$ deux séries de nombres complexes. On appelle produit de Cauchy de ces deux séries la série de terme général $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.
En particulier, si $z,z'\in\mathbb C,$ on a $$\exp(z+z')=\exp(z)\exp(z').$$