Résumé de cours : Groupe symétrique et déterminant
Soit $n\geq 1$. On appelle groupe symétrique ou groupe des permutations de $\{1,\dots,n\}$ l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,n\}$. Il est noté $S_n$. C'est un groupe muni de la loi de composition des applications. Ses éléments sont appelés des permutations.
Les permutations sont en général écrites sous forme matricielle : $$\sigma=\left( \begin{array}{ccccc} 1&2&\dots&k&\dots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\dots&\sigma(k)&\dots&\sigma(n) \end{array} \right).$$
Une permutation $\sigma$ de $\{1,\dots,n\}$ est appelé un cycle de longueur $k$ s'il existe $k$ entiers distincts de $\{1,\dots,n\}$ notés $a_1,\dots,a_k$ tels que $\sigma(a_1)=a_2$, $\sigma(a_2)=a_3,\dots,\sigma(a_k)=a_1$ et $\sigma(a)=a$ si $a$ n'est pas l'un des $a_i$. $\{a_1,\dots,a_k\}$ est appelé le support de la permutation et on la note simplement $$\sigma=(a_1\ a_2\ \dots\ a_k).$$
Une transposition est un cycle de longueur 2.
Dans ce paragraphe, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$.
Soit $\sigma\in S_n$. On appelle inversion de $\sigma$ toute paire $\{i,j\}$ telle que $i<j$ et $\sigma(i)>\sigma(j)$. On appelle signature de $\sigma$ le réel $\veps(\sigma)=(-1)^N$ où $N$ est le nombre d'inversions de $\sigma$.
- si $\sigma,\sigma'\in\mathcal S_n$, alors $\veps(\sigma\circ \sigma')=\veps(\sigma)\times\veps(\sigma')$.
- si $\tau$ est une transposition, $\veps(\tau)=-1$.
Dans la suite, $\mathbb K$ est un corps, $n\geq 1$ est un entier et $E$, $E_1,\dots,E_n$ et $F$ sont des $\mathbb K$-espaces vectoriels.
On appelle application multilinéaire de $E_1\times\cdots\times E_n$ dans $F$ toute application $f:E_1\times\cdots\times E_n\to F$ telle que, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$ et tous $u_1,\dots,u_n\in E_1\times\cdots\times E_n,$ l'application partielle $$\begin{array}{rcl} E_i&\to&F\\ x&\mapsto& f(u_1,\dots,u_{i-1},x,u_{i+1},\dots,u_n) \end{array} $$ est une application linéaire de $E_i$ dans $F.$ Une forme multilinéaire est une application multilinéaire à valeurs dans $\mathbb K.$
Une forme $n$-linéaire alternée sur $E$ est une forme multilinéaire $f:E^n\to\mathbb K$ vérifiant $f(u_1,\dots,u_n)=0$ dès que deux vecteurs parmi $u_1,\dots,u_n$ sont égaux.
En particulier, une forme $n$-linéaire alternée est antisymétrique au sens où $$f(u_2,u_1,u_3,\dots,u_n)=-f(u_1,u_2,u_3,\dots,u_n).$$
Désormais, $E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$.
En particulier, si $\dim(E)=2$, si $u$ a pour coordonnées $(x_1,y_1)$ dans la base $\mathcal B$, si $v$ a pour coordonnées $(x_2,y_2)$ dans cette même base, alors $$\mathrm{det}_{\mathcal B}(u,v)=x_1y_2-x_2y_1.$$
Si $f,g\in\mathcal L(E)$, on a $\textrm{det}(f\circ g)=\textrm{det}(f)\textrm{det}(g)$.
$f\in\mathcal L(E)$ est un automorphisme si et seulement si $\textrm{det}(f)\neq 0$.
Si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on appelle déterminant de $A$ le déterminant des vecteurs colonnes dans la base canonique de $\mathbb K^n$ : $$\textrm{det}(A)=\left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \end{array}\right|= \sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\veps(\sigma)a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(n),n}.$$ Ceci est aussi égal au déterminant de l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de $\mathbb K^n$.
- $\textrm{det}(AB)=\textrm{det}(A)\textrm{det}(B)$;
- $A$ est inversible si et seulement si $\textrm{det}(A)\neq 0$. Dans ce cas, $\textrm{det}(A^{-1})=\big(\textrm{det}(A)\big)^{-1}$.
- $\textrm{det}(A^T)=\textrm{det}(A)$.
- $\textrm{det}(\lambda A)=\lambda^n \textrm{det}(A)$.
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant :
- Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes ne change pas le déterminant;
- Échanger deux lignes multiplie le déterminant par $-1$;
- Multiplier une ligne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$.
- Les propriétés précédentes sont encore vérifiées en remplaçant partout "ligne(s)" par "colonne(s)".
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux.
Si $A$ est triangulaire par blocs, ie si $A$ s'écrit $$A=\left( \begin{array}{c|c} B&D\\ \hline 0&C \end{array}\right),$$ alors $\textrm{det}(A)=\textrm{det}(B)\textrm{det}(C )$.
Si $A\in \mathcal M_n(\mathbb K)$ et si $i,j\in\{1,\dots,n\}$, on appelle mineur d'indices $i,j$ le déterminant obtenu à partir de $A$ en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ième colonne. On le note $\Delta_{i,j}$.
Développement par rapport à la $i$-ème ligne : $$\textrm{det}(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{i,j} \Delta_{i,j}.$$
Développement par rapport à la $j$-ème colonne : $$\textrm{det}(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{i,j} \Delta_{i,j}.$$
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Si $\Delta_{i,j}$ est le mineur de $A$ d'indices $i,j$, le cofacteur de $A$ d'indices $i,j$ est le scalaire $(-1)^{i+j}\Delta_{i,j}$. On appelle comatrice de $A$ la matrice des cofacteurs de $A$, on la note $\textrm{comat}(A)$ ou $\textrm{Com}(A)$.