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Résumé de cours : Nombres complexes

Nombres complexes

Théorème et définition : Il existe un ensemble noté $\mathbb C$, appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les propriétés suivantes :

$\mathbb C$ contient l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$;
$\mathbb C$ contient un élément noté $i$ tel que $i^2=-1$;
tout élément $z$ de $\mathbb C$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$;
$\mathbb C$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles définies sur $\mathbb R$ et qui ont les mêmes propriétés algébriques (associativité, distributivité...).

L'écriture $z=a+ib$ d'un nombre complexe $z$ avec $a,b\in\mathbb R$ s'appelle la forme algébrique de $z$. On dit que $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re e(z)$, et que $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im m(z)$. En particulier, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie imaginaire et même partie réelle.

Proposition (inverse d'un nombre complexe) : Tout nombre complexe $z=a+ib$ non nul possède un inverse $\frac 1z$ donné par $$\frac 1{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

Toutes les formules algébriques qu'on prouve sur les nombre réels restent valides pour les nombres complexes. Par exemple, la formule du binôme s'écrit sous la forme suivante : pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$, et pour tout entier $n\geq 1$, on a $$(z_1+z_2)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k z_1^k z_2^{n-k}.$$ Sous les mêmes hypothèses, on dispose aussi de la formule de factorisation $$z_1^n-z_2^n = (z_1-z_2) (z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+\cdots+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}).$$ Enfin, si $z_1$ n'est pas égal à $1$, alors $$\sum_{k=0}^n z_1^k=\frac{1-z_1^{n+1}}{1-z_1}.$$

Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre complexe noté $\bar z$ défini par $\bar z=a-ib$.

Propriétés du conjugué : Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Alors $$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$$ $$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$$ $$\textrm{si }z_2\neq 0,\ \overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$ $$z_1+\overline{z_1}=2\Re e(z)$$ $$z_1-\overline{z_1}=2i \Im m(z).$$

Module d'un nombre complexe

Le module de $z=a+ib$ est le réel positif $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ On a aussi $|z|^2=z\bar z.$

Le module vérifie les propriétés suivantes : $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z\times w| = |z|\times|w|$$ $$\forall (z,w)\in\mathbb C\times\mathbb C^*, \left|\frac zw\right| = \frac{|z|}{|w|}$$ $$|z|=0\iff z=0$$ $$|\Re e(z)|\leq |z|\textrm{ et }|\Im m(z)|\leq |z|.$$

Théorème (inégalité triangulaire) : Le module vérifie l'inégalité triangulaire $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z+w|\leq |z|+|w|.$$ Si $w\neq 0$ et $z\neq 0$, on a égalité dans cette inégalité si et seulement s'il existe $c>0$ tel que $z=cw$.

On a aussi, pour tous $z,w\in\mathbb C$, $|z-w|\geq \big| |z| - |w| \big|$.

Le plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. A tout nombre complexe $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels, on peut associer

le point $M$ de coordonnées $(a,b)$, appelé point image de $z$;
le vecteur $\vec v$ de coordonnées $(a,b)$, appelé vecteur image de $z$.

Réciproquement,

à tout point $M(a,b)$, on peut associer le nombre complexe $z=a+ib$ appelé affixe de $M$;
à tout vecteur $\vec v(a,b)$, on peut associer le nombre complexe $z=a+ib$ appelé affixe de $\vec v$.

Proposition : Soient $A$ et $B$ deux points du plan d'affixe respective $z_A$ et $z_B$. Alors

le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$;
le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{z_A+z_B}2$;
la longueur $AB$ est égale à $|z_B-z_A|$.

Proposition : Soit $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs, d'affixe respective $z_1$ et $z_2$. Alors $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $z_1+z_2$, et, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\lambda \overrightarrow{w_1}$ a pour affixe $\lambda z_1$.

Nombres complexes de module 1 - Trigonométrie

On note $\mathbb U$ l'ensemble des nombres complexes de module 1, qui se représente géométriquement par le cercle trigonométrique. Ainsi, pour tout nombre complexe $z$ de module 1, il existe un réel $\theta$ tel que $z=\cos\theta+i\sin\theta$. On note alors $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$ En particulier, on a $e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff \theta\equiv \theta'\ [2\pi]$.

Proposition : Pour tout $\theta,\ \theta'\in\mathbb R$, on a $$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\textrm{ et }\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}.$$

Formule d'Euler : Pour tout $\theta\in\mathbb R$, $$\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\quad\quad \sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$

Formule de Moivre : Pour tout $\theta\in\mathbb R$ et pour tout $n\in\mathbb Z$, $$e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n.$$

Argument - forme trigonométrique

Théorème et définition : Pour tout nombre complexe non nul, il existe un réel $\theta$ tel que $z=|z|e^{i\theta}$. Tout réel $\theta$ vérifiant cette égalité s'appelle un argument de $z$ et l'écriture $z=|z|e^{i\theta}$ s'appelle forme trigonométrique de $z$.

Ainsi, deux arguments de $z$ sont égaux modulo $2\pi$. En particulier, si $r,r'>0$ et $\theta,\theta'\in\mathbb R$, on a $$re^{i\theta}=r'e^{i\theta'}\iff r=r'\textrm{ et }\theta=\theta'.$$

Théorème (propriétés algébriques de l'argument) : Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Alors \begin{eqnarray*} \arg(zz')&\equiv&\arg z+\arg(z')\ [2\pi]\\ \arg\left(\frac z{z'}\right)&\equiv&\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]\\ \arg\left(\bar z\right)&\equiv&-\arg(z)\ [2\pi]. \end{eqnarray*}

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.

Proposition (interprétation géométrique de l'argument) : Si $A,B,C$ sont trois points distincts du plan d'affixes respectives $a,b,c$ alors $$\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\ \mod 2\pi.$$

Équations du second degré

Proposition : Pour tout nombre complexe $a$ non nul, l'équation $z^2=a$ possède deux solutions distinctes opposées.

Théorème : Si $a,b,c$ sont des complexes avec $a\neq 0$, alors l'équation $az^2+bz+c=0$ possède deux solutions éventuellement égales, $$z_1=\frac{-b- \delta}{2a}\textrm{ et }z_2=\frac{-b+ \delta}{2a},$$ où $\delta$ est une des deux solutions de l'équation $z^2=\Delta$, avec $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant.

Si $z_1$ et $z_2$ sont les deux racines de l'équation $az^2+bz+c=0$, alors \begin{eqnarray*} z_1+z_2&=&\frac{-b}a\\ z_1\times z_2&=&\frac ca. \end{eqnarray*}

Racines $n$-ièmes

Théorème : Pour tout nombre complexe $a\neq 0$ et tout $n\geq 1$, l'équation $z^n=a$ possède $n$ solutions, qu'on appelle les racines $n$-ièmes de $a$. De plus, si $a=re^{i\theta}$ est une forme trigonométrique de $a$, alors les solutions de $z^n=a$ sont les complexes $$z=r^{1/n}e^{i\frac{\theta+2k\pi}n},\ k=0,\dots,n-1.$$

Plus spécifiquement, les solutions de $z^n=1$, avec $n\geq 1$, s'appellent les racines $n$-ièmes de l'unité. On note $\mathbb U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et on remarque que le théorème précédent implique que $$\mathbb U_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}n}:\ k=0,\dots,n-1\right\}.$$ Ainsi, les points dont les affixes sont éléments de $\mathbb U_n$ forment une partie du cercle unité. De plus, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.

Exponentielle complexe

Si $z=a+ib$, on note $\exp(z)$ ou encore $e^z$ le nombre complexe $\exp(a)e^{ib}.$

Théorème : Soit $z,w\in\mathbb C$. Alors on a :

$e^z=e^w\iff z-w\in 2\pi i\mathbb Z$.
$\exp(z+w)=\exp (z)\exp (w).$

Similitudes directes

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.

Soit $A$ un point du plan et soient $k,\theta$ deux réels avec $k>0$. On appelle similitude directe d'angle $\theta$ et de rapport $k$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ distinct de $A$ associe le point $M'$ défini par $$AM'=kAM\textrm{ et }(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\theta\mod2\pi.$$

La similitude directe de centre $A$, d'angle $\theta$ et de rapport $k>0$ est la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ et de la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$.

Réciproquement, la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de rapport $k>0$ et de centre $A$ avec la rotation d'angle $\theta$ et centre $A$ est la similitude directe de centre $A$, de rapport $k$ et d'angle $\theta$.

Proposition : Soit $a,b$ deux nombres complexes, $a\neq 0$. L'application du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b$ est

une translation si $a=1$; l'affixe du vecteur de translation est alors égal à $b$;
une similitude directe si $a\neq 1$; son rapport est $|a|$, son angle est un argument de $a$, et son centre $A$ admet pour affixe l'unique solution de l'équations aux points fixes $$z=az+b.$$

Nombres complexes