Résumé de cours : calcul algébrique

Symbole somme

Soit $I=\{i_1,\dots,i_p\}$ un ensemble fini, et $(a_i)_{i\in I}$ une famille finie de réels indexée par $I$. On note $\sum_{i\in I}a_i$ la somme finie $a_{i_1}+\cdots+a_{i_p}$. En particulier, si $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite de nombres réels, si $p\leq q$ sont deux entiers naturels, $\sum_{n=p}^q u_n$ désigne la somme $u_p+\cdots+u_q$. On pourra remarquer que cette somme comporte $q-p+1$ termes. Par convention, si $I$ est vide, alors la somme est égale à $0$.

Propriétés : Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres réels, soit $\lambda\in\mathbb R$ et soit $p\leq q$ deux entiers naturels. Alors $$\sum_{n=p}^q (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^q u_n+\sum_{n=p}^q v_n$$ $$\sum_{n=p}^q \lambda u_n=\lambda \sum_{n=p}^q u_n.$$

Les formules suivantes expriment simplement un autre moyen de représenter la même somme finie en effectuant un changement d'indice (ou changement de variables). Elles peuvent être utiles pour simplifier certaines sommes.

Changement d'indice : Soit $(u_n)$ une suite d'entiers, $p\leq q$ deux entiers naturels, et $k\in\mathbb Z$. Alors

glissement d'indice : $$\displaystyle \sum_{n=p}^q u_n=\sum_{m=p+k}^{q+k}u_{m-k}.$$
inversion d'indice : $$\displaystyle \sum_{n=p}^q u_n=\sum_{m=k-q}^{k-p}u_{k-m}.$$

Lorsqu'on développe un produit $(a_1+\cdots+a_n)(b_1+\cdots+b_m)$, on fait apparaitre une somme de termes $a_ib_j$ faisant apparaitre deux indices $i$ et $j$. Ceci motive l'introduction de sommes doubles. Soit donc $(u_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$ une suite "double". La somme de tous les termes de cette suite, $$u_{1,1}+u_{1,2}+\cdots+u_{1,m}+u_{2,1}+\cdots+u_{2,m}+\cdots+u_{n,m}$$ est notée $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m u_{i,j}=\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n u_{i,j}= \sum_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}u_{i,j}.$$

Produit de deux sommes finies : Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres réels et soit $p$ et $q$ deux entiers naturels. Alors $$\left(\sum_{i=0}^p a_i\right)\times\left(\sum_{j=0}^q b_j\right)=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^q a_ib_j.$$

Sommes connues et identité remarquable

$$\sum_{k=1}^n 1=n$$ $$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2$$ $$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$ $$\sum_{k=0}^n x^k=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1-x^{n+1}}{1-x}&\textrm{ si }x\neq 1\\ n+1&\textrm{ sinon}. \end{array} \right. $$

Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $n\geq 1$ est un entier naturel, alors \begin{eqnarray*} a^n-b^n&=&(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\\ &=&(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray*}

Symbole produit, factorielle, coefficients binomiaux

De la même façon que l'on a défini le symbole somme $\sum$, on définit le symbole produit $\prod$ : si $(a_i)_{i\in I}$ est une famille finie de réels indexée par $I$, on note $\prod_{i\in I}a_i$ le produit $a_{i_1}\times\cdots\times a_{i_p}$. Par convention, si $I$ est vide, le produit est égal à $1$.

Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $1$, le symbole $n!$ (qu'on lit factorielle de $n$) désigne le nombre $$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 1.$$ Par convention, $0!=1$.

Si $n$ et $p$ sont deux entiers naturels, le coefficient binomial $\binom np$ (lire $p$ parmi $n$) désigne le nombre de parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Si $0\leq p\leq n$, alors $$\binom np=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$ Si $p>n$, alors $$\binom np=0.$$ Les coefficients binomiaux vérifient de plus la formule de symétrie suivante : si $0\leq p\leq n$, alors $$\binom np=\binom n{n-p}.$$

Formule du triangle de Pascal : si $1\leq p\leq n$, alors $$\binom np=\binom {n-1}p+\binom{n-1}{p-1}.$$

Formule du binôme de Newton : si $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ est un entier naturel, alors $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k}.$$

Calcul algébrique