Préparer sa kholle : variables aléatoires finies

Pour simplifier les notations, posons $Y=\lfloor \sqrt X\rfloor$. Alors, $Y$ peut prendre les valeurs $1,2,3,4$. Plus précisément,

• si $X=1$, $X=2$ ou $X=3$, alors $Y=1$. En particulier, $$P(Y=1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac 3{20}.$$
• si $X=4$, $X=5$, $X=6$, $X=7$ ou $X=8$, alors $Y=2$. En particulier, $$P(Y=2)=\frac 5{20}.$$
• si $X=9$, $X=10$, $X=11$, $X=12$, $X=13$, $X=14$ ou $X=15$, alors $Y=3$. En particulier, $$P(Y=3)=\frac{7}{20}.$$
• si $X=16,17,18,19$ ou $20$, alors $Y=4$. En particulier, $$P(Y=4)=\frac{5}{20}.$$

Il n'est pas facile de calculer directement $P(X=k)$. En revanche, il est beaucoup plus facile de calculer $P(X\geq k)$. En effet, on a $X\geq k$ si et seulement si tous les tirages ont amené un nombre supérieur ou égal à $k$. La probabilité qu'un tirage amène un nombre supérieur ou égal à $k$ valant $\frac{N-k+1}N$ et les tirages étant indépendants, on a $$P(X\geq k)=\frac{(N-k+1)^n}{N^n}.$$ On déduit $P(X=k)$ par la formule $$P(X=k)=P(X\geq k)-P(X\geq k+1)=\frac{(N-k+1)^n-(N-k)^n}{N^n}.$$ La démarche est similaire pour $Y$, mais cette fois on calcule $P(Y\leq k)$ qui vaut $$P(Y\leq k)=\frac{k^n}{N^n}.$$ Il vient $$P(Y=k)=P(Y\leq k)-P(Y\leq k-1)=\frac{k^n -(k-1)^n }{N^n}.$$