Préparer sa kholle : Matrices et applications linéaires

Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb R^4$ dans lui-même défini par $f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z+t,0,x+y+3z+2t)$.

1. Déterminer les images par $f$ des vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb R^4$.
2. Écrire la matrice $A$ représentant l'endomorphisme $f$ dans cette base.
3. Montrer que $f(e_3)$ et $f(e_4)$ sont combinaisons linéaires de $f(e_1)$ et $f(e_2)$.
4. En déduire la dimension de $\textrm{Im}(f)$ et une base de $\textrm{Im}(f)$.
5. Quelle est la dimension du noyau de $f$? Montrer que la famille de vecteurs $(u,v)$ avec $u=(-2,-1,1,0)$ et $v=(-1,-1,0,1)$ forme une base de $\ker(f)$.

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.

1. Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
2. On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On souhaite démontrer qu'il existe une base de $\mathcal L(E)$ constituée de projecteurs. On fixe une base $\mathcal B$ de $E$. On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.

1. A quelle condition une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est-elle la matrice dans la base $\mathcal B$ d'un projecteur de $E$.
2. En déduire que pour tout $i,j\in\{1,\dots n\}$ avec $i\neq j$, les matrices $E_{i,i}$ et $E_{i,i}+E_{i,j}$ sont des matrices de projecteurs.
3. Démontrer la propriété annoncée.