Préparer sa kholle : Rudiments de logique

On va faire un raisonnement par l'absurde et on suppose donc qu'il existe des réels $a,b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $$e^x=ax^2+bx+c.$$ Pour $x>0,$ on écrit $$\frac{e^x}{x^2}=a+\frac bx+\frac{c}{x^2}.$$ On fait tendre $x$ vers $-\infty$ et, en utilisant $\lim_{x\to-\infty}e^x/x^2=0,$ on trouve $a=0.$ On a donc, pour tout $x\in\mathbb R,$ $$e^x=bx+c.$$ Pour $x>0,$ on divise cette fois par $x$ et on trouve $$\frac{e^x}x=b+\frac c x.$$ Faisant tendre $x$ vers $-\infty$ et utilisant $\lim_{x\to-\infty}e^x/x=0,$ on trouve $b=0.$ Ainsi, on a prouvé que pour tout $x\in\mathbb R,$ $e^x=c.$ Autrement dit, la fonction exponentielle est constante, ce qui n'est pas le cas. On a donc une contradiction et il n'existe pas de réels $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $e^x=ax^2+bx+c.$

On va commencer par énoncer l'hypothèse de récurrence. Pour $n\in\mathbb N$, on considère $$\mathcal P_n="\forall x\geq 0,\ \exp(x)\geq 1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!}."$$ Prouvons par récurrence sur $n\in\mathbb N$ que $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb N$.
Initialisation : On sait que $\exp(0)=1$ et que $\exp$ est croissante. Donc, pour tout $x\geq 0$, $\exp(x)\geq 1$ : $\mathcal P_0$ est vraie.
Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P_n$ est vraie, et prouvons $\mathcal P_{n+1}$. Soit $x\geq 0$. Pour tout $t\in [0,x]$, on sait que $$\exp(t)\geq 1+t+\cdots+\frac{t^n}{n!}.$$ On intègre cette inégalité entre $0$ et $x$ et on trouve par linéarité de l'intégrale $$\int_0^x \exp(t)dt\geq \sum_{k=0}^n \int_0^x \frac{t^k}{k!}dt$$ ce qui donne $$\exp(x)-1\geq\sum_{k=0}^n \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{x^k}{k!}.$$ On en déduit que $$\exp(x)\geq 1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!}$$ et donc $\mathcal P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq 0$.
Remarquons la formulation de l'hypothèse de récurrence, où on met un quantificateur sur $x$. On ne pouvait pas fixer $x$ a priori car pour prouver $\mathcal P_{n+1}$ pour une certaine valeur de $x$, on a besoin de savoir que $\mathcal P_{n}$ est vraie pour toutes les valeurs de $t\in [0,x]$.

On va raisonner par analyse-synthèse.
Analyse : Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction telle que, pour tous $x,y\in\mathbb R,$ $$f(x-f(y))=2-x-y.$$ Pour déterminer $f,$ le fait qu'il y ait une composée qui fasse intervenir deux fois la fonction $f$ dans le membre de gauche est un peu embêtant. Pour faire disparaître ce problème, on considère $y\in\mathbb R$ et on choisit $x=f(y).$ On a alors $$f(0)=2-f(y)-y\iff f(y)=2-y-f(0).$$ Pour déterminer complètement $f,$ il reste à calculer la valeur de $f(0)$. Pour cela, on choisit $y=0$ dans l'équation précédente, et on trouve $$f(0)=2-f(0)\iff f(0)=1.$$ Ainsi, on a prouvé que si $f$ est solution de l'équation, alors pour tout $y\in\mathbb R,$ $f(y)=1-y.$
Synthèse : soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=1-x.$ Alors, pour tous $x,y\in\mathbb R,$ on a $$f(x-f(y))=f(x-1+y)=1-(x-1+y)=2-x-y.$$ Conclusion : Une seule fonction vérifie l'équation : la fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=1-x.$