Préparer sa kholle : intégrale d'une fonction continue sur un segment
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R$ telles que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $f(x)=\int_0^x g(t)dt$ et $g(x)=\int_0^x f(t)dt$. On pose $u=f-g$.
- Démontrer que $u'=-u$ et que $u(0)=0$.
- En déduire que $f=g=0$.
L'exercice standard
Enoncé
- Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
- On considère la fonction $F$ définie sur $J=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $J$.
- En utilisant la décroissance de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$ sur $I=]1,+\infty[$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
- En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que,
pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$.
On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.
- Traiter le cas $n=0$.
- Traiter le cas $n=1$.
- Traiter le cas général.