$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : intégrale d'une fonction continue sur un segment

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R$ telles que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $f(x)=\int_0^x g(t)dt$ et $g(x)=\int_0^x f(t)dt$. On pose $u=f-g$.
  1. Démontrer que $u'=-u$ et que $u(0)=0$.
  2. En déduire que $f=g=0$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $J=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $J$.
  3. En utilisant la décroissance de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$ sur $I=]1,+\infty[$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$. On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.
  1. Traiter le cas $n=0$.
  2. Traiter le cas $n=1$.
  3. Traiter le cas général.
Indication
Corrigé
Intégrale d'une fonction continue sur un segment