$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : groupe symétrique et déterminants

Décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints
  Pour décomposer une permutation $\sigma\in S_n$ en produit de cycles à supports disjoints,
  • on commence par recherche les images successives de $1$ par cette permutation, jusqu'à revenir en 1. Si les images successives sont $b_1,\dots,b_k$, on a un premier cycle $(1\ b_1\ \dots\ b_k)$.
  • on cherche ensuite le premier élément de $\{1,\dots,n\}$ qui n'est pas dans l'ensemble des images successives de $1$, et on fait la même opération avec cet élément.
  • on continue ainsi jusqu'à épuiser tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$.
(voir cet exercice).
Décomposer une permutation en produit de transpositions
  Pour décomposer une permutation $\sigma\in S_n$ en produit de transpositions,
  • on commence par la décomposer en produit de cycles à supports disjoints;
  • on décompose chaque cycle en produit de transpositions, par exemple comme ci-dessous : $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_p)=(a_1\ a_2)\circ(a_2\ a_3)\circ\dots\circ(a_{p-1}\ a_p).$$
(voir cet exercice).
Calculer la signature d'une permutation
  Pour calculer la signature d'une permutation $\sigma\in S_n$, on peut
  • la décomposer en produit de cycles à support disjoint ou en produit de transpositions;
  • utiliser la règle $\veps(\sigma \sigma')=\veps(\sigma)\veps(\sigma')$;
  • utiliser le fait que la signature d'un cycle de longueur $p$ est $(-1)^{p-1}$.
(voir cet exercice).
Calculer la puissance d'une permutation
  Pour calculer une puissance d'une permutation $\sigma\in S_n$, on peut
  • décomposer cette permutation en produit de cycles à supports disjoints;
  • calculer la puissance de chaque cycle, sachant que si on a affaire à un cycle $s$ de longueur $p$, on peut raisonner modulo $p$ puisque $s^p=Id$.
(voir cet exercice).
Calculer le déterminant d'une matrice

Pour calculer le déterminant d'une matrice, on peut

  • effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour se ramener à des déterminants de matrices plus petites ou à une matrice triangulaire supérieure (voir cet exercice).
  • développer suivant une ligne ou une colonne (après éventuellement avoir effectué des opérations élémentaires) dans l'espoir d'obtenir une formule de récurrence (voir cet exercice).
  • voir le déterminant comme un polynôme en une certaine variable, identifier son degré et chercher ses racines pour connaitre entièrement le polynôme (voir cet exercice).
Calculer le déterminant d'un endomorphisme

Pour calculer le déterminant d'un endomorphisme, on cherche une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est la plus simple possible, et on calcule le déterminant de cette matrice (voir cet exercice).