$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : nombres complexes

Mise sous forme trigonométrique d'un complexe

Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe $z=a+ib$, on met en facteur le module $\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$ Pour trouver $\theta$, on peut s'aider du cercle trigonométrique (voir cet exercice).

Pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié : $$re^{i\alpha}+re^{i\beta}=re^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}2}.$$ Attention! $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de $\pi$ (voir cet exercice).

Calcul de la puissance d'un nombre complexe

Pour calculer la puissance d'un nombre complexe, on l'écrit sous forme trigonométrique (voir cet exercice).

Racine carrée d'un nombre complexe

Si $w=x+iy$, on cherche les solutions de $z^2=w$ avec $z=u+iv$ en écrivant que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \Re e(z^2)&=&\Re e(w)\\ \Im m(z^2)&=&\Im m(w)\\ |z|^2&=&|w| \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} u^2-v^2&=&x\\ 2uv&=&y\\ u^2+v^2&=&\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$ La première et la dernière équation donnent $u$ et $v$ au signe près, la seconde donne le signe du produit $uv$, donc les deux racines souhaitées (voir cet exercice).

Racine $n$-ième d'un nombre complexe

Pour calculer la racine $n$-ième d'un nombre complexe, c'est-à-dire pour résoudre l'équation $z^n=a$ avec $a\neq 0$,

  • on commence par mettre $a$ sous forme trigonométrique, $a=re^{i\theta}$
  • on utilise le théorème qui nous dit qu'alors les solutions sont les nombres complexes $r^{1/n}e^{i\left(\frac\theta n+\frac{2k\pi}n\right)}$, avec $k=0,\dots,n-1$.
Résolution de l'équation $e^z=w$.

Pour résoudre l'équation $e^z=w$, on écrit $w$ sous forme trigonométrique $w=re^{i\theta}$ et $z$ sous forme algébrique, $z=a+ib$. L'équation devient $$e^ae^{ib}=re^{i\theta}\iff a=\ln r\textrm{ et }b=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z$$ (voir cet exercice).

Applications des nombres complexes à la trigonométrie

Pour linéariser $\sin^n t$ et $\cos^n t$ :

  • on utilise la formule d'Euler en remplaçant $\cos t$ par $\frac{e^{it}+e^{-it}}2$ et $\sin t$ par $\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$;
  • on développe en utilisant la formule du binôme de Newton;
  • on regroupe les exponentielles d'angles opposés en utilisant à nouveau la formule d'Euler

(voir cet exercice).

Pour exprimer $\sin(nt)$ et $\cos(nt)$ en un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$ :

  • on utilise la formule de Moivre $$(\cos t+i\sin t)^n=\cos(nt)+i\sin(nt),$$
  • on développe le membre de gauche par la formule du binôme de Newton;
  • on identifie les parties réelles et les parties imaginaires

(voir cet exercice).

Pour factoriser des sommes de sinus et de cosinus, il est souvent utile d'écrire $\cos(nt)=\Re e(e^{int})=\Re e((e^{it})^n)$, puis de reconnaître une somme géométrique (voir cet exercice).

Éléménts caractéristiques d'une similitude

Si $a\neq 1$, alors la transformation $z\mapsto az+b$ est une similtude directe. Son rapport est $|a|,$ son angle est un argument de $a,$ et son centre est le point d'affixe l'unique solution de $z=az+b$ (voir cet exercice).