Calcul de primitives
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+2)^3},\ I=]-\infty,-2[\\
\mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[.
\end{array}
Intégration par parties
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\arctan(x)\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto (\ln x)^2\quad\quad\mathbf{3.} x\mapsto \sin(\ln x).$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad I=\int_1^2\frac{\ln(1+t)}{t^2}dt\quad \mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{3.}\quad K=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Exercice 5 - Primitive d'une puissance du logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, donner une primitive de $\ln^n x$.
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer
$$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$
Changement de variables
Exercice 7 - Changements de variables - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables demandé, calculer les intégrales suivantes :
- $\displaystyle \int_1^4\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
- $\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{\sin t}{1+\cos^2 t}dt$ en posant $x=\cos t$;
- $\displaystyle \int_1^e \frac{dt}{2t\ln (t)+t}$ en posant $x=\ln t$.
Exercice 8 - Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables indiqué, calculer les intégrales suivantes :
- $\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{1+e^t}$ en posant $x=e^t$;
- $\displaystyle \int_1^3\frac{\sqrt t}{t+1}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
- $\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2}dt$ en posant $t=\sin\theta$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[a,b]$, on a
$f(a+b-x)=f(x)$. Montrer que
$$\int_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}2\int_a^b f(x)dx.$$
En déduire la valeur de $I=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x }dx$.
Fractions rationnelles
Exercice 10 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
- Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
- En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Exercice 11 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}
\end{array}$$
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{3x+2}{x^2+x+1}&\quad\quad&\displaystyle
\mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{2x}{x^2-x+1}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{2x+1}{x^2+x-3}
\end{array}$$
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose
$$I_n=\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^n}.$$
- Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
- En déduire la valeur de $I_3$.
Exponentielles, trigonométriques, abéliennes
Exercice 14 - Exponentielle * polynôme * trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale :
$$\int_0^\pi x^2e^x \cos xdx.$$
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$\mathbf 1.\ x\mapsto\sin^5x\ \ \quad\mathbf2.\ x\mapsto\cos^4 x\sin^2 x\ \ \quad\mathbf3.\ x\mapsto \cos(3x)\cos^3x.$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(t)}{1+\cos^2 t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\quad\quad\mathbf{3.}\ \int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx.$$
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-\sqrt{x+2}}\quad\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.
\end{array}
$$
Enoncé
On se propose de calculer $I=\int_1^{5/2}\sqrt{-x^2+2x+8}dx$.
- Mettre le trinôme sous forme canonique.
- En effectuant deux changements de variable, calculer la valeur de $I$.
Consulter aussi