Nombres réels et études de fonctions
Valeur absolue - Inégalité dans $\mathbb R$
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que
$$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$
$$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Exercice 2 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\
\mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\
\end{array}
$$
Exercice 3 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\
\displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.
\end{array}$$
Fonctions logarithme, exponentielle, puissance
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
{\bf 1.}\ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0&\quad\quad&{\bf 2.}\ \ln(x+2)-\ln(x+1)=\ln(x-1).
\end{array}
$$
Enoncé
Résoudre l'équation $x^{\sqrt x}={\left(\sqrt x\right)}^x$.
Enoncé
Résoudre l'équation suivante :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x^y&=&y^x\\
x^2&=&y^3\\
\end{array}
\right.$$
avec $(x,y)\in]0,+\infty[^2$.
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf{1.}\ x^{\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}};&\quad&\displaystyle\mathbf{2.}\ \log_x\left(\log_x x^{x^y}\right)\\
\end{array}$$
Enoncé
Étudier la fonction $f:x\mapsto x^{-\ln x}$.
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, on a
$$x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x.$$
Enoncé
Soit $g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définie par
$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)$. Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
Enoncé
Déterminer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ \ln(x)-e^x&\quad&\mathbf 2.\ \frac{x^3}{\exp(\sqrt x)}\\
\mathbf 3.\ \frac{\ln(1+e^x)}{\sqrt x}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{\exp(\sqrt x)+1}{\exp(x^2)+1}.
\end{array}
$$
Enoncé
Discuter, selon les valeurs de $a\in\mathbb R$, le nombre de solutions de l'équation
$$\frac 1{x-1}+\frac 12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=a.$$
Exercice 13 - Le logarithme n'est pas une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $f$ un polynôme de degré $n$, $f(x)=a_n x^n+\dots+a_1x+a_0$, avec $a_n\neq 0$. Démontrer que $x^{-n} f(x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
- On suppose qu'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ tels que, pour tout $x>0$, $$\ln x=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$ On note $p=\deg P$ et $q=\deg Q$. Démontrer que $x^{q-p}\ln (x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
- En déduire que l'hypothèse fait à la question précédente est fausse.
Enoncé
Déterminer les limites suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf{1.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{{(x^x)}^x}{x^{(x^x)}};&\quad&\displaystyle\mathbf{2.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{(b^x)}}{b^{(a^x)}}\textrm{ avec }1<a<b;\\
\displaystyle \mathbf{3.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{(a^x)}}{x^{(x^a)}}\textrm{ avec }a>1.
\end{array}$$
Enoncé
Soit $p\geq 2$ un entier et $0<a_1<\dots<a_p$ des nombres réels positifs.
- Montrer que, pour tout $a>a_p$, l'équation $a_1^x+\dots+a_p^x=a^x$ admet une unique racine $x_a$.
- Etudier le sens de variation de $a\mapsto x_a$.
- Déterminer l'existence et calculer $\lim_{a\to+\infty}x_a$ et $\lim_{a\to+\infty}x_a\ln(a)$.
Enoncé
Trouver la plus grande valeur de $\sqrt[n]n$, $n\in\mathbb N^*$.
Fonctions hyperboliques
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\neq 0$,
$$\sum_{k=0}^n\cosh(kx)=\frac{\cosh(nx/2)\sinh\big((n+1)x/2\big)}{\sinh(x/2)}.$$
Enoncé
Résoudre l'équation $\cosh(x)=2$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh(1/x)$.
- Étudier la parité de $f$.
- Étudier le comportement de $f$ en $\pm\infty$, en $0$.
- Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ et calculer sa dérivée.
- Justifier que pour tout $y\geq 0$, $\tanh(y)\leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$, puis tracer la courbe représentative de $f$.
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $n\geq 1$, on a
$$\left(\frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\right)^n=\frac{1+\tanh(nx)}{1-\tanh(nx)}.$$
Fonctions sinus, cosinus, tangente
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par
$$f(x)=\cos(3x)\cos^3x.$$
- Pour $x\in\mathbb R$, exprimer $f(-x)$ et $f(x+\pi)$ en fonction de $f(x)$. Sur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$?
- Vérifier que $f'(x)$ est du signe de $-\sin(4x)$, et on déduire le sens de variation de $f$ sur $I$.
- Tracer la courbe représentative de $f$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+\sin x}.$$
On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Quel est le domaine de définition de $f$? Vérifier que $f$ est $2\pi$-périodique.
- Comparer $f(\pi-x)$ et $f(x)$. Que dire sur $\Gamma$?
- Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left]-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right]$, puis déterminer la limite de $f$ en $-\pi/2$.
- Construire $\Gamma$ à l'aide des renseignements précédents.
Fonctions circulaires réciproques
Enoncé
Calculer
$$\arccos \left(\cos\frac{2\pi}3\right),\quad \arccos\left(\cos\frac{-2\pi}{3}\right),\quad\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right),\quad \arccos\left(\sin\frac{17\pi}5\right).$$
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes :
$$\tan(\arcsin x),\quad \sin(\arccos x),\quad \cos(\arctan x).$$
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par
$$f(x)=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right).$$
- Quel est l'ensemble de définition de $f$?
- En posant $x=\sin t$, simplifier l'écriture de $f$.
Enoncé
- Démontrer que, pour tout $t\in]-\pi/2,\pi/2[\backslash\{0\}$, on a $ \displaystyle \frac{1-\cos t}{\sin t}=\tan(t/2).$
- En déduire une forme simplifiée de $\displaystyle \arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}x\right),$ pour $x\neq 0$.
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2$.
Enoncé
- Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\sqrt{1-x^2}\leq x$?
- Etudier la fonctions $x\mapsto \sqrt{1-x^2}\exp\big(\arcsin(x)\big).$
Enoncé
Discuter, suivant les valeurs des paramètres $a$ et $b$, l'existence de solutions pour les équations suivantes :
- $\arcsin x=\arcsin a+\arcsin b$;
- $\arcsin x=\arccos a+\arccos b$;
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ \arcsin x=\arccos\frac13-\arccos\frac14&\quad&\mathbf{2.}\ \arcsin\frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi}3;\\
\mathbf{3.}\ \arctan 2x+\arctan 3x=\frac{\pi}4;&\quad&\mathbf{4.}\ \arcsin x+\arcsin \sqrt{1-x^2}=\frac\pi2;\\
\mathbf{5.}\ \arcsin x=\arctan 2+\arctan 3.
\end{array}$$
Enoncé
Calculer $\arctan 2+\arctan 5+\arctan8.$
Enoncé
Soit $p\in\mathbb N$.
- Vérifier que $\arctan(p+1)-\arctan p=\arctan\left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.
- Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=0}^n\arctan\left(\frac1{p^2+p+1}\right)$.
Enoncé
- Montrer que pour tout $x\in\mathbb R$, $\arctan x+2\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)=\frac{\pi}2$.
- Calculer, pour tous $x,y\in\mathbb R$ avec $y\neq 1/x$, $$\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)-\arctan x-\arctan y.$$
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on pose $f_n(x)=\cos(n\arccos x)$ et $g_n(x)=\frac{\sin(n \arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$.
Prouver que $f_n$ et $g_n$ sont des fonctions polynomiales.
Fonctions réciproques
Exercice 35 - Etude de fonction et de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=xe^x$.
- Etudier les variations de $f$ et ses limites en $\pm \infty$. Préciser la tangente à la courbe représentative de $f$ en l'origine.
- Démontrer que $f$ induit une bijection $h$ de $[-1,+\infty[$ sur $[-e^{-1}, +\infty[$.
- On note $W$ l'application réciproque de $h$. Justifier que $W$ est dérivable sur $]-e^{-1}, +\infty[$ et vérifier que, pour $x\neq 0$, $$W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.$$
Enoncé
Démontrer que les fonctions suivantes sont bijectives,
et donner l'équation de la tangente à la courbe $y=f^{-1}(x)$ au point $x=0$.
- $f:]0,+\infty[\to \mathbb R$, $f(x)=-1+e^{x-1}+\ln x$;
- $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=4x+\sin^4 x$.
Exercice 37 - Fonction réciproque et fonctions circulaires réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $2\arcsin x+\arcsin f(x)=\frac{\pi}6$.
Donner l'ensemble de définition de $f$. Prouver qu'elle admet une fonction réciproque dont on donnera l'ensemble de
définition.