Résumé de cours : calculs algébriques
Sommes connues
$$\sum_{k=1}^n 1=n$$
$$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2$$
$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
$$\sum_{k=0}^n x^k=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1-x^{n+1}}{1-x}&\textrm{ si }x\neq 1\\
n+1&\textrm{ sinon}.
\end{array}
\right.
$$
Identité remarquable
Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $n\geq 1$ est un entier naturel, alors
\begin{eqnarray*}
a^n-b^n&=&(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\\
&=&(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}
\end{eqnarray*}
Factorielle et coefficients binomiaux
- Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $1$, le symbole $n!$ (qu'on lit factorielle de $n$) désigne le nombre $$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 1.$$ Par convention, $0!=1$.
- Si $n$ et $p$ sont deux entiers naturels, le coefficient binomial $\binom np$ désigne, dans l'arbre de choix de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli, le nombre de branches comportant $p$ succès. Si $0\leq p\leq n$, alors $$\binom np=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$ Si $p>n$, alors $$\binom np=0.$$
Formules sur les coefficients binomiaux
- Symétrie des coefficients binomiaux : si $0\leq p\leq n$, alors $$\binom np=\binom n{n-p}.$$
- Formule du triangle de Pascal : si $1\leq p\leq n$, alors
$$\binom np=\binom {n-1}p+\binom{n-1}{p-1}.$$
- Formule du binôme de Newton : si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $n$ est un entier naturel, alors
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k}.$$